KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI

BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN DAN PERBUKUAN

PUSAT KURIKULUM DAN PERBUKUAN

Matematika

Sekolah Menengah Pertama

Buku Panduan Guru

VII

Kelas

Tim Gakko Tosho

Hak Cipta pada Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia.

Dilindungi Undang-Undang.

Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

“Mathematics for Junior High School 1st Level”

Disclaimer: Buku ini disiapkan oleh Pemerintah dalam rangka pemenuhan kebutuhan buku pendidikan yang bermutu,

murah, dan merata sesuai dengan amanat dalam UU No. 3 Tahun 2017. Buku ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak

di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknolgi. Buku ini merupakan dokumen hidup yang

senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan

dari berbagai kalangan yang dialamatkan kepada penulis atau melalui alamat surel [email protected] diharapkan dapat

meningkatkan kualitas buku ini.

Penulis

Tim Gakko Tosho

Penyadur

Sugiman

Achmad Dany Fachrudin

Penelaah

Budi Poniman

Penyunting

Fristalina

Penyelia

Pusat Kurikulum dan Perbukuan

Penata Letak (Desainer)

Erwin

Desain Kover

Febrianto Agung Dwi Cahyo

Ilustrator

Suhananto

Fotografer

Dewi Pratiwi

Penerbit

Pusat Kurikulum dan Perbukuan

Badan Penelitian dan Pengembangan dan Perbukuan

Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi

Jalan Gunung Sahari Raya No. 4, Jakarta Pusat

Cetakan pertama, 2021

ISBN 978-602-244-516-6 (no.jil.lengkap)

978-602-244-517-3 (jil.1)

Isi buku ini menggunakan huruf Myriad Pro 10/13 pt.

viii, 320 hlm.: 18,2 × 25,7 cm.

Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Badan Penelitian dan Pengembangan dan

Perbukuan, Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi

mempunyai tugas penyiapan kebijakan teknis, pelaksanaan, pemantauan,

evaluasi, dan pelaporan pelaksanaan pengembangan kurikulum serta

pengembangan, pembinaan, dan pengawasan sistem perbukuan. Pada tahun

2020, Pusat Kurikulum dan Perbukuan mengembangkan kurikulum beserta buku

teks pelajaran (buku teks utama) yang mengusung semangat merdeka belajar.

Adapun kebijakan pengembangan kurikulum ini tertuang dalam Keputusan

Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 958/P/2020

tentang Capaian Pembelajaran pada Pendidikan Anak Usia Dini, Pendidikan Dasar,

dan Pendidikan Menengah.

Kurikulum ini memberikan keleluasaan bagi satuan pendidikan dan pendidik

untuk mengembangkan potensinya serta keleluasaan bagi peserta didik untuk

belajar sesuai dengan kemampuan dan perkembangannya. Pada tahun 2021,

kurikulum ini akan diimplementasikan secara terbatas di Sekolah Penggerak.

Begitu pula dengan buku teks pelajaran sebagai salah satu bahan ajar yang akan

diimplementasikan secara terbatas di Sekolah Penggerak.

Untuk mendukung pelaksanaan Kurikulum serta penyediaan buku teks

pelajaran tersebut, salah satunya dengan melakukan penerjemahan dan

penyaduran Buku “Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII”

dari buku asli berjudul “Mathematics for Junior High School 1st Level” diganti

yang disusun dan diterbitkan oleh Gakko Tosho Co., Ltd.. Buku Matematika

ini diharapkan mampu menjadi salah satu bahan ajar untuk mendukung

pembelajaran pada satuan pendidikan di Indonesia.

Umpan balik dari pendidik, peserta didik, orang tua, dan masyarakat

khususnya di Sekolah Penggerak sangat diharapkan untuk perbaikan dan

penyempurnaan kurikulum dan buku teks pelajaran ini.

Selanjutnya, Pusat Kurikulum dan Perbukuan mengucapkan terima kasih

kepada seluruh pihak yang terlibat dalam penyusunan buku ini mulai dari

Penerjemah, Penyadur, Penelaah, Penyunting, Ilustrator, Desainer, dan pihak

terkait lainnya yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga buku ini dapat

bermanfaat untuk meningkatkan mutu pembelajaran.

Jakarta, Juni 2021

Kepala Pusat Kurikulum dan Perbukuan

Maman Fathurrohman, S.Pd.Si., M.Si., Ph.D.

NIP. 19820925 200604 1 001

iii

Kata Pengantar

iv

Seri \"Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama\" yang diterbitkan GAKKO

TOSHO.Co.LTD, Tokyo-Japan bertujuan untuk mengembangkan siswa belajar

matematika oleh dan untuk diri mereka sendiri dengan pemahaman yang

komprehensif, apresiasi, dan perluasan lebih lanjut dalam penerapan matematika.

Penemuan matematika adalah harta berharga matematikawan dan kadangkadang aktivitas heuristik seperti itu dianggap bukan masalah belajar siswa di

kelas, karena seseorang percaya bahwa hanya orang-orang hebat yang dapat

menemukannya. Seri buku teks ini memberikan terobosan untuk kesalahpahaman

anggapan ini dengan menunjukkan kepada siswa untuk memahami konten

pembelajaran baru dengan menggunakan matematika yang telah dipelajari

sebelumnya.

Untuk tujuan ini, buku-buku pelajaran dipersiapkan untuk pembelajaran

di masa depan serta merenungkan dan menghargai apa yang dipelajari siswa

sebelumnya. Pada buku teks ini, setiap bab memberi dasar yang diperlukan untuk

pembelajaran kemudian. Pada setiap kali belajar, jika siswa belajar matematika

secara berurutan, mereka dapat membayangkan beberapa ide untuk tugas/

masalah baru yang tidak diketahui berdasarkan apa yang telah mereka pelajari.

Jika siswa mengikuti urutan buku ini, mereka dapat menyelesaikan tugas/masalah

yang tidak diketahui sebelumnya, dan menghargai temuan baru, temuan dengan

menggunakan apa yang telah mereka pelajari.

Dalam hal jika siswa merasa kesulitan untuk memahami konten pembelajaran

saat ini di buku teks, itu berarti bahwa mereka kehilangan beberapa ide kunci yang

terdapat dalam bab dan/atau kelas sebelumnya. Jika siswa meninjau isi pembelajaran

yang ditunjukkan dalam beberapa halaman di buku teks sebelum belajar, itu memberi

mereka dasar yang diperlukan untuk membuat belajar lebih mudah. Jika guru hanya

membaca halaman atau tugas untuk mempersiapkan pembelajaran esok hari,

mungkin akan salah memahami dan menyalahi penggunaan buku teks ini karena tidak

menyampaikan sifat dasar buku teks ini yang menyediakan urutan untuk memberi

pemahaman di halaman atau kelas sebelumnya.

\"Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama\" menyediakan komunikasi

kelas yang kaya di antara siswa. Memahami orang lain tidak hanya isi pembelajaran

matematika dan pemikiran logis, tetapi juga konten yang diperlukan untuk

pembentukan karakter manusia. Matematika adalah kompetensi yang diperlukan

untuk berbagi gagasan dalam kehidupan kita di Era Digital AI ini. \"Bangun

argumen yang layak dan kritik nalar orang lain (CCSS.MP3, 2010)\" tidak hanya

tujuan di AS, tetapi juga menunjukkan kompetensi yang diperlukan untuk

komunikasi matematika di era ini. Editor percaya bahwa buku teks yang diurutkan

dengan baik ini memberikan kesempatan untuk komunikasi yang kaya di kelas

pembelajaran matematika di antara siswa.

Juni, 2021

Prof. Masami Isoda

Director of Centre for Research on International

Cooperation in Educational Development (CRICED)

University of Tsukuba, Japan

Prakata

v

Fase D (Umumnya untuk kelas 7, 8 dan 9 SMP)

Pada akhir fase D, peserta didik dapat menyelesaikan masalah kontekstual peserta

didik dengan menggunakan konsep-konsep dan keterampilan matematika yang

dpelajari pada fase ini. Mereka mampu mengoperasikan secara efisien pecahan

desimal dan bilangan berpangkat serta akar pangkatnya, bilangan sangat besar

dan bilangan sangat kecil; melakukan pemfaktoran bilangan prima, menggunakan

faktor skala, proporsi dan laju perubahan, menggunakan pengertian himpunan

dan melakukan operasi binier pada himpunan. Peserta didik dapat menyajikan

dan menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel dan sistem

persamaan linier dengan dua variabel dengan berbagai cara, mengerjakan operasi

aritmatika pada pecahan aljabar, menyajikan dan menyelesaikan persamaan

kuadrat dengan berbagai cara. Peserta didik dapat menerapkan faktor skala

terhadap perubahan keliling, luas, dan volume pada prisma, silinder, limas,

kerucut, dan bola. Peserta didik dapat membuktikan dan menggunakan teorema

yang terkait dengan garis transversal, segitiga dan segiempat kongruen, serta

segitiga dan segiempat sebangun, serta teorema Phytagoras. Peserta didik

dapat melakukan transformasi geometri tunggal di bidang koordinat Kartesian.

Peserta didik juga dapat membuat dan menginterpretasi histogram dan grafik

lingkaran, menggunakan pengertian mean, median, modus, jangkauan, dan

kuartil; menyajikan data dalam bentuk boxplots untuk mengajukan dan menjawab

pertanyaan. Mereka mampu memperkirakan kemunculan suatu kejadian pada

percobaan sederhana dengan menggunakan konsep peluang. Peserta didik

mampu memperkirakan kemunculan dua kejadian pada percobaan sederhana

dengan menggunakan konsep peluang, mengorganisasikan dan menyajikan data

dalam bentuk scatterplots untuk mengajukan dan menjawab pertanyaan.

Capaian berdasarkan domain

Bilangan

Di akhir fase D, peserta didik dapat membaca, menuliskan, dan

membandingkan bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan

desimal, bilangan berpangkat dan bilangan berpangkat tak

sebenarnya, bilangan dengan menggunakan notasi ilmiah.

Mereka dapat melakukan operasi aritmetika pada ragam

bilangan tersebut dengan beberapa cara dan menggunakannya

dalam menyelesaikan masalah Mereka dapat mengklasifikasi

himpunan bilangan real dengan menggunakan diagram Venn.

Mereka dapat memberikan estimasi/perkiraan hasil operasi

aritmetika pada bilangan real dengan mengajukan alasan

yang masuk akal (argumentasi). Mereka dapat menggunakan

faktorisasi prima dan pengertian rasio (skala, proporsi, dan laju

perubahan) dalam penyelesaian masalah.

Capaian Pembelajaran Matematika

vi

Aljabar

Di akhir fase D peserta didik dapat menggunakan pola dalam

bentuk konfigurasi objek dan bilangan untuk membuat prediksi.

Mereka dapat menemukan sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan

distributif operasi aritmetika pada himpunan bilangan real

dengan menggunakan pengertian “sama dengan”, mengenali

pola, dan menggeneralisasikannya dalam persamaan aljabar.

Mereka dapat menggunakan “variabel” dalam menyelesaikan

persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Mereka

dapat menyajikan, menganalisis, dan menyelesaikan masalah

dengan menggunakan relasi, fungsi linear, persamaan linear,

gradien garis lurus di bidang koordinat Kartesius. Mereka dapat

menyelesaikan sistem persaman linear dua variabel melalui

beberapa cara. Mereka dapat menggunakan sifat-sifat operasi

aritmetika dan “variabel” dalam menyelesaikan persamaan

kuadrat dengan berberapa cara, termasuk faktorisasi dan

melengkapkan kuadrat sempurna.

Pengukuran

Di akhir fase D peserta didik dapat menemukan cara

untuk menentukan luas permukaan dan volume bangun

berdimensi tiga (prisma, tabung, bola, limas dan kerucut) dan

menggunakan rumus tersebut untuk menyelesaikan masalah.

Mereka dapat menerapkan rasio pada pengukuran dalam

berbagai konteks antara lain: perubahan ukuran (faktor skala)

unsur-unsur suatu bangun terhadap panjang busur, keliling,

luas dan volume; konversi satuan pengukuran dan skala pada

gambar.

Geometri

Di akhir fase D peserta didik dapat membuktikan teorema

yang terkait dengan sudut pada garis transversal, segitiga dan

segiempat kongruen, serta segitiga dan segiempat sebangun.

Mereka dapat menggunakan teorema tersebut dalam

menyelesaikan masalah (termasuk menentukan jumlah besar

sudut pada sebuah segitiga, menentukan besar sudut yang

belum diketahui pada sebuah segitiga, menghitung tinggi

dan jarak). Mereka dapat membuktikan keabsahan teorema

Pythagoras dengan berbagai cara dan menggunakannya

dalam perhitungan jarak antar dua titik pada bidang koordinat

Kartesius. Mereka dapat menggunakan transformasi geometri

tunggal (refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi) pada titik, garis,

dan bidang datar di koordinat Kartesius untuk menyelesaikan

masalah.

vii

Analisa Data

dan Peluang

Di akhir fase D, peserta didik dapat merumuskan pertanyaan,

mengumpulkan, menyajikan, dan menganalisis data untuk

menjawab pertanyaan. Mereka dapat mengunakan proporsi

untuk membuat dugaan terkait suatu populasi berdasarkan

sampel yang digunakan. Mereka dapat menggunakan

histogram dan diagram lingkaran untuk menyajikan dan

menginterpretasi data. Mereka dapat menggunakan konsep

sampel, rerata (mean), median, modus, dan jangkauan (range)

untuk memaknai dan membandingkan beberapa himpunan

data yang terkait dengan peserta didik dan lingkungannya.

Mereka dapat menginvestigasi kemungkinan adanya

perubahan pengukuran pusat tersebut akibat perubahan

data. Mereka dapat menyatakan rangkuman statistika

dengan menggunakan boxplot (box-and-whisker plots).

Mereka dapat menjelaskan dan menggunakan pengertian

peluang (probabilitas) dan proporsi (frekuensi relatif ) untuk

memperkirakan terjadinya satu dan dua kejadian pada suatu

percobaan sederhana (semua hasil percobaan dapat muncul

secara merata).

viii

Edisi Praktis

Buku Panduan Guru

Buku Sekolah

S

M

P

Matematika Kelas

VII

2

Struktur dan Isi Buku Panduan Guru

Edisi Praktis

(volume utama)

Penjelasan dan Materi

(volume terpisah)

Pemanfaatan dan Eksplorasi

(volume terpisah)

Buku ini disusun agar dapat bermanfaat untuk pembelajaran

matematika dalam kehidupan sehari-hari dan penyampaian

bahan ajar. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pengajaran

dan jawaban soal di dalam buku teks.

Memiliki struktur halaman yang sama dengan struktur

halaman buku teks.

Memuat cetakan buku teks yang diperkecil ditempatkan

di tengah, sehingga kesesuaian antar isi buku teks dengan

jawaban dan penjelasanya dapat dipahami dengan jelas.

Setiap bab diawali dengan tujuan dari setiap bab.

Q (Pertanyaan) dan soal, mencoba, memeriksa,

meningkatkan daya menghitung dan jawaban semua

pertanyaan disampaikan pada akhir bab.

Jika diperlukan, telah disisipkan soal dengan topik serupa

yang dapat digunakan sebagai pertanyaan tambahan.

Tujuan memberikan contoh dan pertanyaan hal yang

menjadi poin untuk pengajaran yang ditampilkan sebagai

penjelasan yang perlu diingat. Sama halnya dengan buku

teks yang ditunjukkan dengan nomor.

Bahan referensi dan topik yang terkait dengan buku teks

ditampilkan sebagai referensi.

→ Tujuan menyunting buku teks

→ Rencana pengajaran tahunan

→ Penjelasan setiap bab

(tujuan bab, kriteria evaluasi bab, diagram sistem bahan

ajar terkait, draf rencana pengajaran, contoh pengaturan

kriteria evaluasi, poin-poin yang harus diperhatikan dalam

pengajaran, pengembangan bab ini)

→ Contoh pengembangan mata pelajaran

→ Soal tes cadangan

→ Contoh soal evaluasi

→ Materi untuk disalin

CD-ROM

(termasuk contoh standar evaluasi rencana bimbingan

tahunan, tes cadangan, contoh pertanyaan evaluasi,

kumpulan ilustrasi dan perangkat lunak pembuatan kuis)

I. Pertanyaan pemanfaatan

II. Materi untuk tugas pembelajaran

3

Pendalaman

Materi

Pertanyaan untuk memberikan petunjuk

tentang materi ajar baru

Contoh nyata dan contoh pertanyaan tentang

pembelajaran

Aktivitas dan pertanyaan mengenai

pembelajaran baru

Menampilkan pertanyaan yang muncul

saat pembelajaran, yang kemudian akan

dipelajari pada bagian berikutnya

Soal-soal yang sesuai dengan

aktivitas pembelajaran matematika

Menemukan sifat-sifat bilangan dan bentuk

geometris baru berdasarkan materi yang telah

dipelajari hingga kini

Menerapkan pengetahuan dan cara berpikir

yang telah dipelahari dalam berbagai situasi

Menjelaskan ide sendiri agar dapat dipahami dengan

mudah dan bagikan pikiran tersebut bersama orang

lain

Mencakup topik dan

pertanyaan yang terkait dengan

apa yang telah dipelajari

Pembukaan Bab

Komposisi Buku

Akhir bab

Tugas dasar untuk mengonfirmasi

apa yang telah dipelajari

Tugas dapat membantu kemampuan

berpikir dengan memanfaatkan apa

yang telah dipelajari

Memanfaatkan apa yang telah

dipelajarisehari-hari

Untuk matematika tingkat lanjut *

Meringkas apa yang telah dipelajari dalam

sebuah laporan dan menggunakannya untuk riset

pembelajaran

Matematika Sekolah Dasar *

Mempelajari kembali materi mengenai operasi

hitungan Sekolah Dasar

Tinjauan tahun pertama *

Tugas untuk meninjau kembali apa yang telah

dipelajari di tahun pertama

Tugas untuk mengulas dan merangkum apa yang

telah dipelajari

Mencakup materi untuk lebih

mendalami dan memperluas

pengetahuan mengenai apa

yang telah dipelajari

Akhir Buku

Petunjuk Bagaimana Menggunakan Buku Ini

1

Cara berpikir untuk memecahkan

permasalahan tersebut

Soal untuk mempelajari pembelajaran

Tugas untuk memperdalam pembelajaran

Soal

Mari Mencoba

Pendekatan

Penerapan

Komunikasi

Penemuan

Tugas untuk belajar mandiri untuk menambah

pengetahuan dan keterampilan

Akhir Bagian

Mari kita periksa

Diskusi_

Halaman ini merangkum apa saja yang telah di

pelajari hingga sejauh ini

Penggunaan kalkulator untuk menyelesaikan

soal

Tugas untuk menyampaikan pendapat pribadi

dan mendiskusikannya dengan orang lain

Menunjukkan bahwa tugas dan materi yang

melampaui cakupan tingkat 1. Mari belajar

sesuai minat

Penggunaan internet dan komputer dalam

penyelasaian tugas

Ulasan Dari Aritmetika ke Matematika.

Tujuan dari pembelajaran pada materi baru

Pekerjaan Terkait Pekerjaan dengan tugas terkait

Hlm.16

Tujuan

Mari meningkatkan kemampuan berhitung

Soal ringkasan per bab

Gagasan Utama

Penggunaan

Penerapan

Tingkatkan

Menunjukkan acuan jawaban

Contoh

Jawaban

Cara

Berpikir

Tugas untuk memastikan materi yang seharusnya

dikuasai. Jika belum mampu, disarankan untuk

kembali berlatih terkait materi yang belum dipahami

Yang diberi tanda * adalah hanya untuk yang ingin

mengerjakannya.

4

Pengayaan 4 107

Pengayaan 3 85

Aljabar 60

1 Aljabar dalam Kalimat Matematika

Rahasia di Balik Bilangan pada Kalender 89

2 Menyederhanakan Bentuk Aljabar 75

62

Pengembangan

2

BAB

Pendalaman Materi

12

1 Bilangan Positif dan Negatif

Masalah Perbedaan Zona Waktu 59

Pengayaan 1 35

Pengayaan 2 55

2 Penjumlahan dan Pengurangan 21

3 Perkalian dan Pembagian 36

14

Bilangan Bulat

Ulasan ~ Dari Aritmetika ke Matematika ~ 10

1

BAB

• Bilangan bulat, desimal,

pecahan dan operasi

penyelesaiannya

• Operasi penjumlahan,

pengurangan, perkalian,

dan pembagian

• Bilangan kelipatan dan

pembagi

• Operasi hitung dengan

menggunakan \" □ \" dan \"

△ \"

• Operasi hitung dengan

menggunakan huruf

SMP Kelas VII

Pendalaman Materi

Persamaan Linear

2 Penerapan Persamaan Linear

Tantangan dalam Mengajukan Soal! 122

108

1 Persamaan 92

90 3

BAB

Pendalaman Materi

Kata Penganar

Prakata

Capaian Pembelajaran Matematika

iii

iv

v

Struktur dan Isi Buku Panduan Guru

Petunjuk Bagaimana Menggunakan Buku Ini

Petunjuk Bagaimana Menggunakan Buku Catatan

Mari Mempersiapkan dan Menyajikan Laporan

Cara Berpikir Matematis

2

3

6

7

8

Daftar Isi

124

1 Fungsi

Seberapa Jauhkah Pusat Gempa? 160

2 Perbandingan Senilai 129

3 Perbandingan Berbalik Nilai 141

Menerapkan Perbandingan Senilai

dan Perbandingan Berbalik Nilai

4

149

126

Perbandingan Senilai dan

Perbandingan Berbalik Nilai

Ulasan ~ Dari Sekolah Dasar ke Sekolah Menengah Pertama ~ 123

4

BAB

• Rasio

• Perbandingan senilai

dan perbandingan

berbalik nilai

• Bagaimana

menunjukkan posisi

sebuah bidang atau

ruang

SD

Pendalaman Materi

5

1 Sifat-Sifat Dasar Bangun Datar

Melukis Garis, Sudut, dan Bangun Datar

Transformasi Bangun Geometri

2

3

Jarak Terpendek Mengangkut Air 193

172

185

164

194

162

Bangun Ruang

Bangun Datar

Sifat-Sifat Bangun Ruang

Berbagai Cara Mengamati Bangun

Ruang

3 Pengukuran Bangun Ruang

2

1

Membandingkan Volume dan Luas Permukaan 230

213

206

196

Menggunakan Data 232

Bagaimana Menyelidiki

Kecenderungan Data

Menggunakan Data

1

2

234

246

Ulasan ~ Dari Sekolah Dasar ke Sekolah Menengah Pertama ~ 231

Ulasan ~ Dari SD ke SMP ~ 161

• Rata-Rata dan Nilai Ukuran

Data

• Diagram Batang, Diagram

Garis, dan Diagram

Lingkaran

• Tabel yang Menyatakan

Diagram Kolom

Menyiapkan Laporan

Contoh Laporan

Cara Presentasi

Mari Menyelidiki

Komachizan

Persegi Ajaib

Kesalahan Besar Hideyoshi

Menghitung Luas Bangun Tidak Beraturan

Menghitung Jari-Jari Jalan Melingkar

Kursi Roda dan Tangga

Sejarah π

Penampang Melintang Kubus yang Dipotong

Bidang Datar Tingkatkan

Kunci Jawaban

Menyajikan Penyelidikan Kita

Profil Penelaah

Profil Penyunting

Profil Desainer

Indeks

Materi Tambhan

Profil Penerjemah

Profil Penyadur

317

318

318

294

306

314

315

268

270

271

272

274

276

285

259

261

262

264

259

258

Eksplorasi Matematika

266

267

266

Matematika Lanjut – Halaman Untuk Belajar Kelompok –

5

7

6

BAB

BAB

BAB

• Garis tegak lurus dan

sejajar

• Poligon dan poligon

beraturan

• Bentuk simetris

• Gambar-gambar

berimpitan

• Bidang dan sisi tegak lurus

dan sejajar

• Sketsa dan jaring-jaring

• Luas segitiga,

jajargenjang,

trapesium dan belah

ketupan

• Rasio keliling dan luas

lingkaran

• Volume prisma dan tabung

SD

SD

Pendalaman Materi

Pendalaman Materi

Piramida Populasi 254

Pendalaman Materi

6

Petunjuk Bagaimana Menggunakan Buku Catatan

○Hari, ○Bulan

Perhatikan tujuan penggunaan tanda “－“ pada bilangan dan besaran

Termometer di samping ini menunjukkan suhu di dua

tempat yang berbeda. Berapa suhunya masing-masing?

Perhatikan suhu tersebut. Dibandingkan dengan 0o

,

mana yang lebih tinggi dan mana yang lebih rendah?

Tunjukkan bilangan yang kurang dari 0. Apa artinya?

Ide ku

Artinya kurang dari 0.

Gagasan teman

Seberapa dingin dibandingkan nol?

Seberapa panas dibandingkan nol?

nol tidak memiliki arti

Rangkuman

‘Kecepatan angin buritan 2,3 m per detik’

Artinya ‘Kecepatan angin haluan adalah

2,3 m per detik’

Ini tidak salah, namun kita harus

memikirkan jawaban yang paling

tepat untuk menjawab soal

Kesan

Mula-mula saya berpikir bahwa 0 tidak memiliki arti, ternyata memiliki

makna pangkal acuan untuk membedakan tanda positif dan negatif.

Mempelajari bilangan-bilangan dengan tanda “－”

Dengan memilih 0 sebagai acuan titik

pangkal, kita dapat menyajikan dua

besaran yang berkebalikan dengan

menggunakan tanda positif dan negatif.

－ ＋

kurang → 0 → lebih besar

pangkal

Tanggal Tujuan

Tugas dan permasalahan Gagasanku

Gagasan temanku Hasil pengamatan

Ringkasan Kesan

Mari tuliskan di buku catatanmu.

Apa yang kamu pahami dan bermakna bagimu

Apa saja yang kamu gunakan

Apa yang kamu pikirkan dan yang kamu amati di kelas

Apa saja gagasan yang muncul dan bagaimana

pendapatmu

Apa rencanamu selanjutnya

Masalah yang terkait, dugaan, dan masalah yang belum

terpecahkan

Pada bagian ‘kesan’, mari kita tuliskan rincian

berikut ini.

Tuliskan dengan

jelas menggunakan

kata-katamu sendiri

Kesalahan jangan

dihapus, tetapi

jelaskan letak

kesalahanmu

Buku catatan matematika digunakan untuk mencatat kegiatan belajar. Diharapkan

kamu menggunakan buku catatan tersebut untuk menuliskan dan merefleksikan

pemikiranmu, bagaimana kamu menyelesaikan soal, dan menjelaskan alasannya

selama pembelajaran di kelas.

Gunakan warna

dan kotak-kotak

secara tepat

Tuliskan

penemuanmu pada

catatan tambahan

Gambarlah diagram

dan tuliskan dalam

kalimat yang jelas

Buku Teks Halaman 14-15

Tujuan

Soal 4

6

Seperti yang ditunjukkan dalam pedoman

pembelajaran, untuk meningkatkan kemampuan

dalam merepresentasikan sesuatu, caranya adalah

dengan membuat buku catatan.

Saat membuat buku catatan, perlu

dipikirkan hal berikut di bawah ini

Mendeskripsikan pemikiran siswa, lalu

siswa dapat membandingkannya dengan

siswa lain sehingga dapat memperdalam

pemikiran

Memeriksa sebelum dan sesudah topk

yang diajarkan dan memanfaatkannya di

pembelajaran spiral selanjutnya.

Mmeriksa apa yang siswa tidak kuasai

berdasarkan hal di atas, berikut ini adalah

poin-poin untuk membuat catatan, seperti

bab diawal teks utama. Adapun hal yang

harus ditulis dalam buku catatan

Tanggal

Agar dapat memeriksa kapan isi pelajaran

tersebut dibuat

Tujuan

Petunjuk Bagaimana Menggunakan

Buku Catatan

Perjelas tujuan pembelajaran dengan menunjukkan tujuan dalam waktu 1 jam pembelajaran

dan konsistensi tujuan pembelajaran.

Tugas

Mendeskripsikan tugas-tugas untuk diulas dan pembelajaran spiral

Gagasanku

Catat hal-hal apa saja yang terpikirkan saat itu

Gagasan temanku

Tuliskan apa yang tidak dimengerti atau tidak terpikirkan

Hasil pengamatan

Catat apa yang diamati bahkan dengan memo singkat, sehingga nanti dapat digunakan

Ringkasan

Ringkas pelajaran dengan menggunakan bahasa sendiri

Kesan

Catat apa yang dipahami, dan apa yang baru diketahui. Kemudian, catat juga apa yang ingin

dilakukan atau membuat pertanyaan yang terpikirkan saat itu.

Meskipun dalam buku teks memberikan isi seperti contoh diatas, isi yang ditampilkan disini

kurang optimal. Adanya referensi ini, semoga dapat membuat catatan yang mudah dipahami.

Mungkin pada awalnya perlu beberapa waktu yang cukup lama untuk membuat buku catatan,

penting untuk meluangkan waktu dalam membuat catatan yang baik, mengingat hal ini adalah

salah satu faktor untuk memperdalam pembelajaran.

7

Untuk menyampaikan gagasanmu pada orang lain secara meyakinkan, sangat

bermakna apabila disampaikan tidak hanya secara lisan, tetapi juga dalam bentuk

laporan yang jelas. Mempersiapkan laporan merupakan kesempatan emas untuk

menyusun ulang dan merangkum gagasan secara sistematis karena harus dapat

dimengerti orang lain. Marilah kita persiapkan laporan, kemudian disajikan. Lihat

acuan pada sampel contoh di halaman 259-263.

Buku teks ini menggunakan satuan pengukuran secara umum sebagai berikut.

Mari Mempersiapkan dan Menyajikan Laporan

Petunjuk Bagaimana Menggunakan Satuan Pengukuran

Persiapkan Laporanmu pada kesempatan-kesempatan berikut ini.

cm3

m3

Isi (Volume)

Centimeter Kubik

Meter Kubik

cm2

m2

km2

Luas

Centimeter Persegi

Meter Persegi

Kilometer Persegi

mm

cm

m

km

Panjang dan Jarak

Millimeter

Centimeter

Meter

Kilometer

g

kg

t

Berat

Gram

Kilogram

Ton

ml

l

Kapasitas

Milliliter

Liter

cm/dtk

m/mnt

km/ jam

Kecepatan

Centimeter per Detik

Meter per Menit

Kilometer per Jam

Per ‘/’ menyajikan pembagian: ‘a/b’

artinya nilai a : b. ’cm/dtk’ adalah besaran

kecepatan yang merupakan hasil bagi

besaran dalam cm dengan

besaran dalam detik. Dapat juga disajikan

sebagai (cm) : (dtk).

Huruf untuk menyajikan ＊

liter adalah l. Dianjurkan

untuk menggunakan l untuk

membedakan dengan angka 1

(satu).

＊

Merangkum materi yang telah dipelajari di setiap kelas

Merangkum kegiatan matematika di setiap kelas

Merangkum diskusi yang berlangsung pada tugas

Merangkum pertanyaan-pertanyaan dan tugas inkuiri

Penemuan Penerapan Komunikasi

Diskusi

7

Mari Mempersiapkan dan Menyajikan

Laporan

Selain buku catatan yang sudah ditunjukkan

pada halaman 6, siswa dapat meningkatkan

kemampuan dengan membuat dan menyajikan

laporan.

Buku catatan dapat menjadi perbandingan

untuk mengulas diri sendiri. Tetapi disisi

lain, laporan juga sering digunakan untuk

menjelaskan materi kepada orang lain. Oleh

karena itu, penting untuk membuat laporan

yang mudah dipahami dan mudah untuk

dilihat.

Oleh karena pembelajaran yang

menggunakan laporan sering kali memakan

waktu, sehingga sulit dikerjakan di kelas atau

pada pembelajaran biasa. Akan tetapi, ada

beberapa hal yang dapat dipelajari melalui

pembelajaran ini sehingga dapat membuat

laporan. Jjadi disini akan dijelaskan sebisa

mungkin.

Tentu saja, sebenarnya ingin menangani

laporan di kelas atau pada pembelajaran

yang biasanya. Akan tetapi, dapat juga

menggabungkannya saat selesai pembelajaran

atau saat melakukan pembelajaran matematika.

Petunjuk Cara Menuliskan Satuan

Satuan pada buku teks didasarkan pada sistem

satuan internasional (Prancis: Le Système

International d’Unité s Inggris: International

System of Units, disingkat SI).

Hingga kini, pelajaran matematika atau

lainnya, liter dinyatakan dengan “ℓ” dan

kecepatan dinyatakan dengan “km/jam”. Akan

tetapi, notasi ini hanya berlaku di Jepang

dan dalam banyak kasus tidak berlaku diluar

negeri. Oleh karena itu, berdasarkan satuan

internasional, liter dinyatakan dalam buku teks

sebagai “L”, kecepatan “Km/h”. Karena sebagian

besar satuan dipelajari di sekolah dasar, jadi

jika memeriksa kembali disini dan kemudian

mempelajari bukut teks, mungkin ada kesalahan

pada penggunaan satuan.

Selain itu, mengenai satuan liter, saat

memperhatikan botol minuman dalam plastik

atau yang lainnya, sering kali ditulis dengan

huruf kecil “ml”. Namun dalam buku teks

matematika, mungkin akan membuat bingung

jika dituliskan sebagai 1l. Oleh karena itu liter

ditulis dengan huruf kapital.

8

Menerapkan aturan dan sifat-sifat yang telah diketahui pada situasi serupa, tetapi tidak

sama.

Marilah kita mengecat pagar dengan warna merah.

Tuliskan pernyataan untuk menentukan keliling.

Segitiga beraturan

Segi lima beraturan

Segi delapan beraturan

Segi duabelas beraturan

Tuliskan pernyataan untuk

menentukan keliling segi banyak

beraturan yang memiliki sisi-sisi a

Segi-a beraturan

Menyusun argumentasi (alasan) berdasarkan sifat-sifat, aturan yang telah diketahui dan

kondisi yang diberikan.

Jumlah empat sudut

dalam segiempat

adalah 360o

.

Mari kita jelaskan

alasannya.

Membuat dugaan mengenai sifat-sifat dan aturan umum melalui eksplorasi pada sejumlah

contoh konkret.

Pernyataan dengan Huruf:

(SD Kelas VI)

Jumlah sudut dalam segitiga

adalah 180o

.

Setiap diagonal pada

segiempat membagi segiempat

menjadi dua segitiga.

1 2

1

2

1dl cat dapat dipakai untuk mengecat 4

5 m2

.

2

3 dl cat dapat dipakai untuk mengecat ... m2

?

　　4 2

5 3

Yang diketahui dan diberikan Bangun dan Sudut:

(SD Kelas VI)

Luas yang dapat dicat

Jumlah cat

0 (m2

)

0 1 (dl)

Cara Berpikir Matematis

Berpikir Matematis

Berpikir Matematis

Berpikir Matematis Penalaran Analogis

Penalaran Induktif

Penalaran Deduktif

Soal

Soal

Soal

Perkalian dan Pembagian:

(SD Kelas VI)

Menyusun berbagai segi banyak beraturan menggunakan lidi-lidi dengan panjang 6 cm.

4

5

2

3

Pernyataan matematika: ×

×

×

×

×

×

1

2

3

8

Cara Berpikir Matematis

Ada banyak contoh kasus disekitar kita

yang berkaitan mengenai pengukuran dalam

berbagai situasi seperti jual beli barang, suhu,

kecepatan, waktu, dan lain-lain.

Misalnya, “keadaan yang memahami

kebiasaan dan memprediksi masa depan

bedasarkan data masa lalu dan data saat ini”,

“Keadaan dimana sifat kejadian itu dan keadaan

yang umum dengan mengulangi beberapa

percobaan”, “keadaan dimana isi yang telah

disimpulkan, kemudian dijelaskan kepada

orang lain”. Kemampuan seperti ini benarbenar harus dimiliki, karena kemampuan ini

sangat diperlukan dalam kehidupan sehari-hari.

Khususnya, aritmatika dan matematika

yang dianggap sebagai mata pelajaran yang

cocok untuk memperoleh kemampuan

menyimpulkan seperti itu.

Oleh karena itu, dalam buku teks ini akan

menyimpulkan 3 hal, yaitu “analogis”, “induktif”,

dan “deduktif” mengenai kesempatan

untuk mempersiapkan matematika Sekolah

Menengah Pertama, bahkan dapat di

sadari pada pembelajaran biasa, khususnya

pentingnya pengajaran.

“Penalaran analogis” adalah cara berpikir

bahwa masalah yang telah dipecahkan

sebelumnya, dapat diselesaikan dengan

metode yang sama kali ini. Khususnya, dalam

matematika Sekolah Dasar ada gagasan yang

sering digunakan, seperti “Apakah mungkin

menghitung pecahan dan desimal dengan

cara yang sama dengan bilangan bulat?”. Oleh

Karena itu, gagasan dalam buku teks adalah

“Terapkan aturan dan jenis yang ditemukan

sebelumnya dan pikirkan dengan cara yang

sama”.

“Penalaran induktif” biasanya dikatakan

sebagai cara berpikir yang digunakan

dalam sains. Mengulangi percobaan,

mempertimbangkan hasil tersebut, dan

menduga hal seperti yang diharapkan terjadi.

Gagasannya adalah untuk mengetahui

aturan dan ide umum dengan memeriksa

banyak data. Dalam matematika, ini sering

digunakan dalam situasi mencari sifat bilangan

bulat, seperti “Memprediksi apakah jumlah

bilangan genap dan ganjil akan menjadi ganjil”.

Oleh karena itu, buku teks memiliki gagasan

“Memikirkan aturan dan sifat umum melalui

beberapa hal konkret”.

“Penalaran deduktif” adalah cara berpikir

yang muncul dalam bentuk “pembuktian”,

yang dianggap sebagai hal penting dalam

matematika Sekolah Menengah Pertama,

misalnya, “Menggunakan definisi dan sifat yang

telah terbukti untuk menemukan sifat baru

dan menjelaskan bahwa sifat itu benar”. Oleh

karena itu, dalam buku teks, gagasannya adalah

“Memikirkan tentang alasan berdasarkan aturan

dan sifat umum yang ditemukan sebelumnya”.

9

×

Hitung terlebih dahulu keliling segi banyak beraturan.

Jumlah semua sudut dalam segi lima

dan segi enam beraturan dijelaskan

dengan cara yang sama.

Dalam perkalian bilangan desimal, ubahlah

menjadi bilangan bulat terlebih dahulu.

Kemudian letakkan tanda desimal (koma)

sesuai dengan tempat desimal dari kedua

bilangan tersebut.

Dalam mengalikan bilangan pecahan,

pikirkan sebagai perkalian bilangan bulat.

Demikian juga perkalian bilangan desimal.

Segitiga beraturan 3 × 6

Segi lima beraturan 5 × 6

Segi delapan beraturan 8 × 6

Segi duabelas beraturan 12 × 6

n × 6

dengan n adalah jumlah sisi.

…

Dengan mengamati beberapa contoh

(kasus), kita peroleh rumus untuk

menghitung keliling:

　(panjang sisi) kali (jumlah sisi)

Rumus keliling segi-a beraturan

dengan sisi-sisi 6 cm adalah.

　　a × 6 = 6a

× 5 × 3

4 × 2 = 8

: 15

4

× 2

= (4 × 2) : (5 × 3) 5 3

= 4 2

5 × 3

8

= 15

Sebuah segiempat dipotong menjadi

dua segitiga menggunakan salah satu

diagonalnya. Dapat

dilihat pada gambar di

samping bahwa jumlah

empat sudut dalam

segiempat merupakan

dua kali jumlah sudut dalam segitiga.

Kemudian 180° × 2 = 360° . Oktagon　180° × 3 = 540°

Pentagon　180° × 4 = 720°

21 × 23 = 483

× 10 × 10 : 100

2,1 × 2,3 = 4,83

Kalimat yang menyatakan keliling

4

5 × = 2

3

Kelas VI - I Hlm. 34 - 36

Kelas VI- I Hlm. 108 - 109

Kelas VI - I Hlm. 24 - 30

9

Di kelas 7, sambil melihat kembali materi

pembelajaran matematika Sekolah Dasar, ada 3

contoh gagasan yang perlu diperhatikan.

Cara berpikir matematis 1 merupakan contoh

“Penalaran analogis”. Saat mempertimbangkan

perhitungan “pecahan × pecahan”, pengali dan

penyebut pengali dikalikan, diubah menjadi

bilangan bulat dan akhirnya dikembalikan ke

pecahan untuk mendapatkan jawabannya. Pada

saat itu “aturan yang ditemukan sebelumnya”

adalah gagasan untuk mengibahnya menjadi

bilangan bulat dengan “desimal × desimal”. Hal

tersebut sudah berlaku untuk desimal, mungkin

dapat berlaku juga untuk pecahan. Penalaran

analogis ini digunakan dalam situasi seperti

pengenalan pengurangan pada halaman

26. Pengurangan di Sekolah Dasar sebagai

penghitungan kembali operasi penjumlahan,

jadi ini dapat digunakan dalam situasi

mengingat bilangan negatif dimasukkan. Hal

tersebut dapat dipertimbangkan dengan cara

yang sama.

Cara berpikir matematis 2 adalah contoh

“Penalaran induktif”. Saat mempertimbangkan

rumus untuk menghitung panjang keliling

segi banyak beraturan, keteraturan ditemukan

dengan menambah jumlah sisi secara bertahap

seperti segitiga beraturan, segi lima beraturan,

dan seterusnya. Dengan demikian, rumus

untuk menghitung panjang disekitar persegi

adalah “panjang 1 sisi x α”. Seperti pada

halaman 175, penalaran induktif ini adalah

untuk menggambar beberapa lingkaran yang

melewati titik-titik ujung garis, berpusat pada

titik-titik pada garis berat vertikal garis bola,

sehingga titik-titik pada garis-garis vertikal

memiliki jarak yang sama dari kedua ujung garis.

Cara berpikir matematis 3 adalah contoh

dari “Penalaran deduktif”. Alasan jumlah

ukuran keempat sudut segi empat adalah 360°

didasarkan pada fakta bahwa “jumlah sudut

dalam segitiga adalah 180°” dan “segi empat

dapat dibagi menjadi dua segitiga secara

diagonal”. Menemukan jumlah dari sudut dalam

segi empat dan jumlah sudut bagian dalam dari

segi banyak (poligon) lainnya. Cara berpikir

ini digunakan dalam situasi, seperti pada

halaman 182, yang menjelaskan bahwa metode

menggambar untuk memulihkan lingkaran

dengan hanya satu bagian, benar berdasarkan

sifat dari garis-garis vertikal.

Selain itu, pada bagian buku teks, setiap

gagasan secara konkret disajikan sebagai

catatan tambahan di bagian yang khusus,

sehingga dapat melanjutkan pembelajaran

sambil mempelajari setiap gagasan di

pembelajaran biasa.

Selanjutnya, selain menemukan istilah

seperti “Penalaran analogis”, “Penalaran induktif”

dan “Penalaran deduktif”, dengan mengetahui

3 penalaran tersebut dan bertujuan sebagai

pembelajaran untuk diri sendiri, jadi tidak

begitu penting untuk harus mengigat istilah ini.

Bilangan Bulat

Bilangan-bilangan seperti 1, 6, dan 230 disebut

bilangan bulat.

Desimal

Bilangan-bilangan seperti 0,2; 1,4; dan 2,8 disebut

bilangan desimal.

Pecahan

Bilangan-bilangan seperti 1

3 , 2

5 , dan 7

4 disebut bilangan pecahan.

Persamaan

Tanda sama dengan “ = ” digunakan untuk

menyatakan hasil hitung. Tanda tersebut juga

digunakan untuk menyatakan bahwa bilangan

atau pernyataan di kiri dan di kanannya adalah

sama.

Pertidaksamaan

Tanda pertidaksamaan >, <, >, < digunakan untuk

menyatakan perbandingan dua bilangan atau

pernyataan di kiri dan kanannya.

Resiprokal

Jika dua bilangan dikalikan menghasilkan 1, maka

bilangan yang satu disebut kebalikan yang lain.

Aturan Hitung ①

Meskipun urutan dua bilangan dibalik, hasil

jumlahnya sama.

□+△=△+□

Jika tiga bilangan dijumlahkan dan urutan

bilangan-bilangan dibalik, hasilnya tetap

sama.

( □ + △ )+ ◯ = □ +( △ + ◯ )

Meskipun urutan dua bilangan dibalik, hasil

kalinya sama.

□ × △=△ × □

Jika tiga bilangan dikalikan dan urutannya

dibalik, maka hasilnya tetap sama.

( □ × △ ) × ◯=□ × ( △ × ◯ )

Aturan Hitung ②

　( □ + △ ) × ◯=□ × ◯+△ × ◯

　( □ – △ ) × ◯=□ × ◯ – △ × ◯

Bab 1

Bilangan Positif dan Negatif

Kita dapat juga

menghitung bilangan

desimal dan pecahan.

11

0

213 0,8

6

4,3

Apa yang telah kita pelajari sejauh ini?

~Dari Matematika SD ke SMP~

Cobalah untuk menggelompokkan

berbagai bilangan. Lanjutkan

dengan melakukan mencoba soalsoal hitungan menggunakan +, -,

x, dan : .

Ulasan

10

10

Tujuan

Ulasan

~ Dari Aritmetika ke Matematika ~

Sambil mengulas kembali mengenai “bilangan

dan rumus” yang dipelajari di Sekolah Dasar, hal

tersebut dapat membantu mempersiapkan diri

untuk pembelajaran yang akan datang.

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

1. Penjelasan mengenai ulasan

Materi matematika Sekolah Dasar diantaranya

adalah “Bilangan dan hitungan A”, “Jumlah

dan pengukuran B”, “Bidang geometri C”, dan

“Hubungan kuantitas D” yang berbeda dengan

materi matematika di SMP. Hal ini bertujuan agar

siswa dapat memahami materi pembelajaran

sekaligus menata kembali pembelajaran materi

SMP.

Materi “bilangan dan rumus A” di SMP,

utamanya berasal dari materi “Bilangan dan

Penghitungan A” dan “Hubungan Kuantitas D”

di Sekolah Dasar.

Dengan menggunakan teknik “mengulas

kembali”, posisikan sebagai salah satu langkah

untuk belajar matematika Sekolah Dasar ke

matematika Sekolah Menengah Pertama dan

menghilangkan penolakan untuk mempelajari

materi.

2. Mengulas kembali 4 aturan operasi hitung

Disini akan diingatkan tentang operasi

hitung bilangan bulat, desimal, dan pecahan

yang dipelajari di Sekolah Dasar. Khususnya ada

beberapa siswa yang tidak pandai menghitung

desimal dengan pecahan, dan operasi hitung

campuran desimal dengan pecahan. siswa

tersebut memahami dengan cara meminta

mereka mengerjakan “Operasi hitung Sekolah

Dasar” pada halaman 277.

Hal ini juga bergantung bagaimana cara

memilih angka, beberapa siswa mungkin

membuat rumus seperti “6-11” yang tidak

dipelajari di Sekolah Dasar. Jika begitu,

menanyakan bagaimana operasi hitung ini

dapat dilakukan atau tidak, dan membiarkan

siswa terlibat dalam kegiatan diskusi juga akan

memotivasi mereka untuk mempelajari “Bab 1

Bilangan Positif dan Negatif”.

3. Mengulas kembali setiap karakter

Di kelas 6 Sekolah Dasar, telah belajar bahwa

ketika menyatakan angka dan besaran, selain

menggunakan simbol dan , terkadang juga

menggunakan karakter seperti a dan x.

Memikirkan tentang apa yang dinyatakan

oleh rumus di dalam buku teks, dapat membantu

untuk mempelajari rumus karakter dan nilai

rumus. Bagi siswa yang kesulitan mengungkapkan

pendapatnya, jika sudah terbiasa menjelaskan dan

berkomunikasi dalam aktivitas kelompok kecil,

maka akan dengan mudah pula mengungkapkan

pendapatnya di kelas-kelas selanjutnya.

Huruf dan Kalimat Matematika

Jika kita ingin menyatakan bilangan dan

besaran, maka kita menggunakan simbol

seperti □ dan ○ , dan huruf-huruf seperti a

atau x.

Contohnya, jika kita membeli x potong kue bolu

masing-masing harganya 800 rupiah, maka

kita dapat menyatakan x × 800.

Bilangan yang Cocok Menggantikan Huruf

①

Untuk mencari bilangan x pada persamaan

x + 8 = 21, maka nilai x dapat diperoleh dengan

pengurangan (yang merupakan kebalikan atau

invers dari penjumlahan).

x + 8 = 21

x = 21 – 8

x = 13

Bilangan yang Cocok Menggantikan Huruf ②

Untuk menghitung bilangan x pada persamaan

5 × x = 18, maka x dapat diperoleh dengan

menggunakan pembagian yang merupakan

kebalikan dari perkalian.

　　 5 × x = 18

x = 18 : 5

x = 18

5

Rasio

Jika besaran pertama 2 dan besaran kedua

adalah 3, maka hubungan antara kedua besaran

dapat dinyatakan sebagai 2 : 3. Relasi ini

dinamakan rasio.

Nilai Rasio

Apabila rasio a ： b dinyatakan sebagai a

b ,

maka hasil pembagian a oleh b disebut sebagai

nilai rasio. Nilai rasio menyatakan berapa kali b

menghasilkan a.

7 × x = 35

x + 4 = 22

x – 6 = 15

a + 7

x × 3 5 × x

2 + a

2 × x + 4

Bab 2 Pernyataan

Menggunakan Huruf

Bab 1

Bilangan Positif dan Negatif Bab 3

Persamaan Linier

Jika sebuah barang

harganya x rupiah,

maka kita nyatakan:

x x 3.

angka-angka seperti a

dan x telah digunakan

untuk menggantikan

bilangan-bilangan.

Jika kita ganti x dengan bilanganbilangan, maka kita akan

mengetahui apa arti pernyataan

tersebut.

Marilah kita pelajari

pernyataan-pernyataan

di depan saya.

Pikirkan bilangan yang

cocok untuk menggantikan

huruf pada pernyataan di

samping.

11

11

Selain itu, siswa perlu memikirkan apa artinya

yang merupakan dasar untuk membaca rumus,

sehingga dapat menggunakannya dengan sebaik

mungkin di pembelajaran selanjutnya.

4. Mengulas kembali persamaan

Di kelas 6 Sekolah Dasar, pernah mempelajari

bagaimana menemukan angka yang berlaku

untuk huruf dari persamaan yang menyertakan

huruf. Pernah diajarkan juga dengan cara, apa

yang dapat dimasukkan kedalam x dengan

menggunakan angka. Akan tetapi dapat juga

mecari x dengan pengurangan dalam kasus

penjumlahan dan dengan pembagian untuk

perkalian, yaitu dengan menggunakan cara

menghitung mundur. Akan dipelajari pula

mengenai jenis dan transisi persamaan di

pembelajaran selanjutnya, tetapi jika tidak

begitu sulit, bisa juga meminta jawabannya.

Di ekolah Dasar, meskipun belum juga

mempelajari istilah-istilah persamaan, tetapi

telah diajari tentang tanda sama dengan

sebagai simbol yang menunjukkan hubungan

persamaan antara sisi kanan dan sisi kiri.

Banyak siswa menyatakan bahwa tanda

sama dengan adalah simbol yang digunakan

untuk menunjukkan jawaban operasi hitung,

seperti membaca “2+3=5” sebagai “2 ditambah

3 sama dengan 5”. Tetapi, karena aturan operasi

hitungnya juga digunakan untuk menyatakan

hubungan persamaan sebagai a+b=b=a,

jika menyatakan perubahannya disini, akan

mengurangi kegagalan saat mempelajari

persamaan dan pertidaksamaan.

Dengan pengertian yang sudah dikonfirmasi,

bukan hanya menemukan bilangan yang berlaku

untuk x, tetapi juga mengenai persamaannya.

5. Hal yang sudah dipelajari hingga kini

Berikut adalah rangkuman hal-hal penting

yang berkaitan dengan “angka dan rumus A”

dalam materi pembelajaran di Sekolah Dasar.

Selain yang ada disini, karena sedang

mempelajari materi berikutnya, ajarkan

menurut situasi siswa dan kelas.

(garis bilangan)

Bilangan bulat, desimal, dan pecahan

semuanya dapat dinyatakan di atas satu garis

bilangan. Lalu, dapat membandingkan besar

kecilnya juga.

(Jarak, Kecepatan, dan Waktu)

Rumus untuk menghitung jarak, kecepatan

dan waktu adalah sebagai berikut:

Jarak = kecepatan × waktu

Kecepatan = jarak ÷ waktu

Waktu = jarak ÷ kecepatan

(Rasio)

Dengan 1 sebagai jumlah dasar, jumlah yang

menyatakan berapa banyak jumlah yang dapat

dibandingkan disebut rasio.

Rasio = jumlah yang dibandingkan÷jumlah

dasar.

1

KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI

REPUBLIK INDONESIA, 2021

Matematika

untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Penulis: Tim Gakko Tosho

Penyadur: Sugiman, Achmad Dany Fachrudin

ISBN: 978-602-244-515-9 (jil.1)

Bilangan apa yang di awali dengan tanda “-“?

1 Bilangan Positif dan Negatif

Penjumlahan dan Pengurangan

Perkalian dan Pembagian

2

3

suhu maksimum hari ini di berbagai daerah

1

BAB

Bilangan Bulat

Di sekitar kita, ternyata banyak bilangan yang diawali dengan tanda “-“.

Suhu ditulis dengan

tanda “-“. Apa ya artinya

“-“?

Sumber: jabar.tribunnews.com

33

(+1)

29

(+2)

Sumber: Dokumen Puskurbuk

Ketinggian maksimum kendaraan di gerbang tol

12 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

12 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Tujuan

1. Dapat memahami artinya dengan

memperhatikan tanda “-“ yang digunakan

untuk menyatakan suhu.

2. Dapat memberikan ketertarikan angkaangka dengan tanda “-“ di sekitar kita dan

memikirkan artinya.

Jawaban

1 (contoh)

- Perbedaan suhu di berbagai daerah

- Ketinggian daerah

- Perbedaan suhu di berbagai daerah

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

1. Penjelasan halaman ini

(Pembukaan Bab 1 jam)

Bilangan Bulat

BAB

1

Sebagai contoh angka dengan tanda “−“, menampilkan suhu tertinggi hari ini dan perbandingan hari

sebelumnya di wilayah Jawa Barat yang terlihat dalam perkiraan cuaca.

Ada temperatur dengan angka yang menggunakan tanda “−”, pada hari sebelumnya ada angka yang

menggunakan tanda “−“ , namun sebaiknya dimulai dengan kegiatan yang menyadarkan siswa bahwa

perbedaan itu adalah perbedaan titik acuan. Saat itu, sarankan agar dapat menyampaikan banyak pemikiran

dan pemahaman tentang bilangan apa dan yang bagaimana yang menggunakan bilangan dengan tanda “−“.

Perlu diketahui juga bahwa perbandingan dari hari ke hari adalah selisih dari hari sebelumnya.

Sebagai contoh selain suhu, mengambil foto seperti permukaan laut, skor golf, dan kondisi pasar

saham. Hal tersebut dapat dimanfaatkan untuk meningkatkan motivasi belajar siswa.

2. Penjelasan 1

Tujuannya agar siswa tertarik dan menyadari bahwa angka dengan tanda “−“ digunakan dalam

berbagai situasi di sekitar kita. Seperti contoh yang ditunjukan dalam jawaban, tetapi mengenai

itu semua, penting untuk membuat mereka berpikir tentang apa itu titik acuan 0ºC dan bagaimana

menyatakan tanda “−“.

3. Skema Pengembangan

Pembelajaran

Dalam sains kelas 4 SD, ada pembelajaran yang menyatakan suhu 3ºC lebih rendah dari 0ºC

menunjukkan “-3ºC dan membacanya sebagai “3ºC di bawah nol” atau “minus 3”.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI

REPUBLIK INDONESIA, 2021

Buku Panduan Guru Matematika

untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Penulis: Tim Gakko Tosho

Penyadur: Sugiman & Achmad Dany Fachrudin

ISBN: 978-602-244-517-3 (jil.1)

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bilangan dengan “-“ berada di manamana.

Bilangan apakah yang ada tanda “-“?

Hlm.14

Bilangan yang di dalam

kurung menyatakan

selisih suhu hari ini

dengan kemarin.

Apakah kamu pernah

menjumpai bilangan

dengan tanda \"-\"?

28

(-3)

31

(-1)

Sumber: https://imcnews.id

Sumber: Dokumen Puskurbuk

Sumber: beritagar.id

Ketinggian air Pasar Ikan Jakarta Utara

Indeks harga saham gabungan

Batas kecepatan di tol

Bab 1　Bilangan Bulat 13

Bab 1 Bilangan Bulat 13

Disini, pertama-tama kami memberikan

gambaran umum mengenai suhu di berbagai

wilayah di Indonesia. Kemudian, mengenai

beberapa poin, dengan membaca informasi

seperti apa yang akan didapatkan dari ramalan

cuaca.

4. Suhu

Meskipun terkait dengan apa yang telah

disebutkan dalam poin 3 di halaman sebelumnya,

dalam sains SD kita belajar bahwa suhu saat air

membeku adalah 0ºC, dan suhu yang lebih rendah

dinyatakan dengan menggunakan “–“. Disini

dipastikan bahwa ini adalah titik acuannya, yaitu

0ºC.

Dengan cara ini, satuan skala termometer

yang biasa digunakan di Jepang adalah “ºC”, yang

disebut dengan derajat celcius. Adapun suhu

dalam derajat celcius, suhu saat air membeku

adalah 0ºC, suhu saat mendidih adalah 100ºC,

dan satuan suhu dibagi menjadi 100 bagian yang

sama.

5. Penjelasan pada balon percakapan

Melalui apa yang kita pelajari disini, kita

akan mengklarifikasi adanya bilangan dengan

tanda “-”yang banyak terdapat di sekitar kita,

dan bagaimana angka dengan tanda “–“ tersebut

akan digunakan. Penjelasan tersebut dapat

menyadarkan bahwa hal ini akan terhubung pada

pembelajaran di halaman berikutnya. Khususnya

saat memerlukan pemahaman bilangan dengan

tanda “–“ yang diketahui selama ini, kedepannya

juga akan lebih teliti menangani bilangan positif

dan hubungannya dengan 0 yang telah dipelajari

sehingga dapat memahami bilangan negatif

dengan benar.

Referensi Diatas permukaan laut

“Di atas permukaan laut” adalah ketinggian

daratan saat permukaan laut 0 m. Oleh karena

itu, jika ada keterangan, misalnya, -1 m di atas

permukaan laut bermakna daratan yang lebih

rendah dari permukaan laut (walaupun di

Indonesia masih cukup sulit untuk menemui

keterangan gambar semacam ini). Namun, perlu

ditekankan ketinggian permukaan laut sedikit

berbeda tergantung lokasinya.

Referensi Pasar Saham

Informasi tanda “–” yang juga sering

muncul adalah informasi tentang pasar saham.

Pada informasi tentang penurunan harga

saham dibanding dengan hari sebelumnya,

biasa disajikan dalam bentuk bilangan dengan

tanda “–”.

Jika suhunya 2o

C di bawah 0, maka kita gunakan tanda -, sehingga ditulis -2o

C.

Dibaca “minus/negatif 2o

C”. Jika suhu 27o

C di atas 0, maka kita gunakan tanda +,

dan ditulis +27o

C. Dibaca “plus/ positif 27o

C”.

Jika bilangan memiliki tanda + dan -, maka disebut secara berturut-turut

bilangan positif dan negatif.

Ditetapkan 0o

sebagai suhu acuan (pangkal) ketika air

membeku dan es meleleh. Kita dapat menyatakan suhu

lebih tinggi dari 0o

C dengan tanda positif, dan suhu

lebih rendah dari 0o

dengan tanda negatif. Selain untuk

menyatakan suhu, beberapa besaran juga dinyatakan

dengan tanda positif dan negatif dengan titik acuan 0.

Dengan menggunakan

0 sebagai titik pangkal

(acuan), maka kita

dapat membentuk

bilangan yang lebih

kecil dari 0.

Termometer di samping ini menunjukkan

suhu di Dieng dan Surabaya. Berapa suhunya

masing-masing? Perhatikan suhu tersebut.

Jika dibandingkan dengan 0o

, mana yang lebih

tinggi dan mana yang lebih rendah?

Besaran yang menggunakan Titik Acuan 0

Mempelajari penggunaan bilangan dengan tanda “-“

Nyatakanlah suhu berikut ini dengan tanda positif atau negatif.

Suhu 6,5o

C lebih tinggi

dibandingkan 0o

C

Suhu 10o

C lebih rendah

dibandingkan 0o

C

1 2

Soal 1

1 Bilangan dengan Tanda

1 Bilangan Positif dan Negatif

Tujuan

Dieng Surabaya

Sumber: Dokumen Puskurbuk

27 -2 o o

14 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

14 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

4 jam

1 Bilangan Positif dan Negatif

2 jam

1 Bilangan dengan Tanda

Tujuan

1. Besaran dengan sifat berlawanan dapat

dinyatakan menggunakan tanda positif

dan negatif dengan titik acuan 0.

2. Dapat memahami arti bilangan positif dan

negatif, bersamaan dengan mengetahui

bahwa kisaran bilangan yang dapat

direpresentasikan telah diperluas dengan

pengenalan bilangan negatif.

Jawaban

Deing: -2o

C, Surabaya: 27o

C

Dieng: 2o

C lebih rendah jika dibandingkan

dengan 0o

C

Surabaya: 27o

C lebih tinggi jika dibandingkan

dengan 0o

C

Soal 1

(1) +6.5o

C (2) –10o

C

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

1. Penjelasan pertanyaan

Berdasarkan pembelajaran di halaman

12-13, sebisa mungkin siswa diarahkan untuk

dapat membaca skala termometer dengan

benar. Berdasarkan gambar tersebut, siswa perlu

memahami bahwa 1 skala termometer memiliki

kenaikan 2o

C . Perbandingan dengan 0o

C tidak hanya

untuk membaca skala, tetapi juga untuk memberikan

pemahaman bahwa 0o

C adalah titik acuannya.

2. tanda positif (+) dan tanda negatif (–)

Pahami bahwa “+” dan “-“ masing-masing

harus dibaca sebagai “plus” dan “minus”, dan

bahwa 27o

C dapat ditulis sebagai +27o

C.

Saat ini, jelaskan bahwa “+” dan “-“ bukanlah

simbol matematika yang menunjukkan

penambahan atau pengurangan, tetapi

simbol (kode positif dan kode negatif) yang

menunjukkan apakah bilangan tersebut lebih

besar atau lebih kecil dari dari titik acuan 0.

Begitu juga, dalam rumus matematika,

penggunaan + dan – sebagai tanda positif dan

negatif sering membingungkan (Penghitungan

dan arti “6 - 8” halaman 33)

3. Penjelasan soal 1

Soal berikut adalah salah satu bentuk

penulisan suhu dengan menggunakan tanda

positif dan negatif. Pada soal pertama dinyatakan

sebagai 6,5o

C, tetapi ajarkan pula bahwa itu

dapat dinyatakan dengan menggunakan tanpa

+6,5o

C dengan menggunakan tanda positif.

Soal 1: Sehubungan dengan soal nomor

1, akan lebih baik jika +18o

C dan -7o

C dapat

dinyatakan sebagai “ suhu 18o

C lebih tinggi dari

0o

C” dan “suhu 7o

C lebih rendah dari 0o

C”.

Ketika mengajarkan “Suhu saat air

membeku atau es mencair, titik acuannya

adalah 0o

C, suhu yang lebih tinggi dari 0o

C

dinyatakan dengan tanda positif, dan suhu yang

lebih rendah dinyatakan dengan menggunakan

tanda negatif”. Perlu dipahami bahwa 0

bukanlah “tidak ada”, tetapi menjadi “titik acuan”,

dan berbagai besaran dapat dinyatakan dengan

menggunakan tanda positif dan negatif.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Ketinggian Gunung Semeru adalah 3.676 meter di atas permukaan laut,

dan kedalaman Palung Jawa adalah 7.140 meter di bawah permukaan laut.

Ditetapkan titik pangkal sebagai acuan adalah garis pantai. Bagaimana

kita menyatakan besaran-besaran pada gambar berikut ini dengan

menggunakan tanda positif dan negatif?

Ditetapkan titik A sebagai titik pangkal 0 km. Titik “6 km di sebelah Timur A”

sebagai +6 km. Titik “4 km di sebelah Barat A” dinyatakan sebagai -4 km.

Berdasarkan contoh 1, titik -7 km dan +2,5 km menyatakan posisi di mana

pada garis? Tunjukkan nilai tersebut dengan ↑. Kemudian, nyatakan dengan

menggunakan kata-kata.

Nyatakan besaran-besaran berikut ini menggunakan tanda positif dan negatif.

“rugi 500 rupiah”, jika “untung 400 rupiah” dinyatakan sebagai +400 rupiah.

“30 menit dari sekarang\", jika “20 menit yang lalu\" dinyatakan sebagai -20

menit.

“40

C lebih rendah dibandingkan suhu tertinggi kemarin\" berdasarkan

suhu tertinggi hari ini, jika 30

C lebih tinggi dibandingkan suhu tertinggi

kemarin\" dinyatakan sebagai +30

C.

Papan pengumuman lomba lari

cepat 100 m menunjukkan bahwa

kecepatan angin buritan adalah 0,9

m per detik dinyatakan sebagai “+0,9

m /detik. ” Apa artinya -2,3 m /detik”?

Barat Timur

0 km +6 km

4 km A 6 km

-4 km

Variasi Penggunaan Tanda \"+\" dan “-”

3

2

1

Contoh 1

Soal 2

Soal 3

Soal 4

-2,3 m/detik?

0

+3000

-5000

-10000

Gunung Semeru m

Palung Jawa m

Permukaan

laut 0 m

...

...

Di manakah titik

pangkalnya?

Bab 1　Bilangan Bulat 15

Bab 1 Bilangan Bulat 15

Jawaban

Gunung semeru: +3676 m

Palung Jawa: -7140 m

Soal 2

Barat Timur

0 km +6 km

4 km A 6 km

-4 km

-7 km: 7 km di sebelah barat A

+2.5km: 2,5 km di sebelah timur A

Soal 3

(1) -500 rupiah (3) -4o

C

(2) +30 menit

Soal 4

Ada angin haluan dengan kecepatan 2.3m/detik

Pertanyaan Serupa

Nyatakan besaran berikut ini menggunakan tanda

positif dan negatif!

(1) Saat titik pangkal permukaan laut 0 m

“ketinggian Gunung Yari adalah 3180 m” dan

“kedalaman terdalam parit jepang adalah

8020 m”

(2) Ditetapkan titik B sebagai titik pangkal 0 km,

titik “3km disebelah selatan B” sebagai -3 km,

titik “10 km di sebelah utara B”

(1) +3180 m, -8020 m

(2) +10 km

4. Penjelasan

Dapat dipahami bahwa besaran selain

suhu juga dapat direpresentasikan dengan

menggunakan tanda positif dan negatif. Pada

saat itu, penting untuk menjelaskan apa itu titik

pangkal 0 dan apa yang dinyatakan dengan + dan

-. Saat titik pangkal sudah ditetapkan, besaran

yang mana, + atau – yang menjadi pertimbangan,

hal yang umum untuk meningkatkan besaran

karakter bertambah menjadi +.

Disini juga perlu mementingkan aktivitas

matematika siswa, seperti membiarkan mereka

berdiskusi secara bebas bagaimana menyatakan

ketinggi dan kedalaman.

5. Penjelasan Contoh 1 , Soal 2

Ditetapkan sebuah titik pangkal, yaitu dimana

titik di sebelah timur titik pangkal dilambangkan

dengan + dan titik barat oleh -.

Hal ini digunakan ketika menentukan hasil

perkalian positif dan negatif seperti yang ada

pada halaman 36-37. Lalu, pada gambar contoh1

terhubung pada pembelajaran garis bilangan

pada halaman 17 (gagasan untuk memperluas

garis bilangan ke daerah negatif).

6. Penjelasan Soal 4

Di papan pengumuman lomba lari,

kecepatan angin buritan adalah +. Angin haluan

dinyatakan dengan tanda -. Pada hal ini, perlu

untuk memastikan bahwa titik pangkal adalah 0

m/s menyatakan keadaan tanpa angin. Dan juga,

satuan kecepatan m/s, biasanya dibaca “meter per

secon” atau “meter per detik”.

Bilangan yang lebih dari 8, misalnya +8, +10, dan

sebagainya disebut bilangan positif. Bilangan yang

kurang dari 0, seperti -4, -9, dan sebagainya disebut

bilangan negatif.

0 bukanlah bilangan positif maupun negatif.

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini menggunakan tanda positif dan negatif.

Tentukan bilangan-bilangan berikut ini apakah positif atau negatif.

Nyatakanlah selisihnya terhadap 0 (lebih besar atau lebih kecil dari 0).

Di Sekolah Dasar kita telah belajar tentang bilangan positif dan 0. Di Sekolah

Menengah kita akan mempelajari juga bilangan negatif. Jadi, bilangan bulat

mencakup bilangan positif, 0, dan negatif. Bilangan bulat positif juga disebut

bilangan asli.

Bilangan-bilangan seperti

+8 atau +10 berturut-turut

sama dengan 8 atau 10,

seperti yang telah dipelajari

di Sekolah Dasar.

Bilangan Positif dan Negatif

……，-3，-2，-1，　　0，　　+1，+2，+3，……

bilangan negatif bilangan positif

(bilangan asli)

Bilangan

bulat

1 -6 2 +3 3 +1,2 4

Bilangan 8 lebih dari 0

Bilangan -4 kurang dari 0

1

2

Jadi, jika kita tetapkan titik 0

sebagai pangkal (acuan) kita dapat

menyatakan bilangan-bilangan yang

lebih besar dengan tanda positif,

dan bilangan yang lebih kecil dari 0

menggunakan tanda negatif.

Di SD kita menyatakan bilangan dalam

garis bilangan. Dapatkah kita juga

menyatakan bilangan negatif pada garis

bilangan?

5 -0,1

Hlm.17

Soal 5

2

5

-

16 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

16 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Pertanyaan

(1) +8 (2) –4

Soal 5

(1) Bilangan Negatif 6 kurang dari 0

(2) Bilangan Positif, 3 lebih dari 0

(3) Bilangan Positif, 1,2 lebih dari 0

(4) Bilangan Negatif, 2

5 kurang dari 0

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

7. Penjelasan bilangan positif dan bilangan

negatif

Sejauh ini, “besaran dengan sifat

berlawanan” seperti suhu, ketinggian, dan jarak

telah menggunakan tanda positif dan negatif.

Selanjutnya, kita akan menjauh dari objek

konkret atau konteks dan hanya berurusan

dengan bilangan. Berdasarkan hal tersebut,

pemahaman tentang arti bilangan positif dan

bilangan negatif perlu ditekankan kepada siswa.

8. Perpanjangan konsep bilangan

Di tahun ketiga sekolah dasar, saya belajar

Bilangan bulat

Bilangan asli

bahwa 0 dan 1,2,3, ... merupakan bilangan bulat.

Konsep bilangan dengan memasukkan tanda positif dan negatif, angka-angka ini dinyatakan

sebagai 0, + 1, + 2, + 3, ... dan bilangan bulat negatif -1, -2, -3, ... diperluas.

Mulai sekarang, memahami tentang yang dikatakan bilangan bulat adalah bilangan bulat

positif (bilangan asli), 0, bilangan bulat negatif.

Hal tersebut bergantung dari siswa, bahwa +1, +2, +3, ... dan yang telah dipelajari di sekolah

dasar 1, 2, 3, ..., sering diperlakukan sebagai bilangan yang berbeda. Oleh karena itu, pastikan

kembali bahwa bilangan tersebut (contoh +2 dengan 2) adalah bilangan yang sama.

Selain itu, mengenai perbedaan bilangan bulat dan bilangan asli,

terdapat salah satu cara, yaitu adalah memperlihatkan tahap yang terdapat

di halaman 52 pada buku teks seperti diagram gambar yang ada disebelah

kanan.

9. Penjelasan balon percakapan

Menentukan standar 0, siswa diharapkan belajar memutuskan besar kecilnya dengan menggunakan

tanda positif atau negatif. Angka negatif (angka kurang dari 0) menjadi bentuk baru yang bergabung

kedalam angka yang telah dipelajari saat Sekolah Dasar sampai saat ini. Saat mempelajari bilangan di

Sekolah Dasar, menggunakan garis bilangan sebagai bantuan untuk menghitung besar kecilnya sebuah

angka, penambahan, pengurangan, dan lain-lain. Selama bilangan negatif juga merupakan bilangan,

perlu dilakukan diskusi agar siswa mengetahui mengenai besar kecil dan metode perhitungannya.

Dengan pandangan yang serupa, diharapkan dapat terhubung dengan pembelajaran selanjutnya dengan

membawa kesadaran akan masalah.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Tandai titik-titik yang bersesuaian dengan 2 ; 2,5 ; 1

2 pada garis bilangan

berikut ini. Bandingkan nilainya.

1

Apa yang dibutuhkan untuk menyajikan bilangan negatif pada garis

bilangan? Jawablah menggunakan garis bilangan di atas.

2

Kita dapat menyajikan bilangan positif dan negatif pada garis bilangan (1)

pada dengan memperpanjang garis ke arah kiri dari 0. Tandai titik-titik

dengan menggunakan interval yang sama. Kemudian cocokkan posisi bilangan

pada garis bilangan tersebut. Pada garis bilangan berikut ini titik A bersesuaian

dengan -4 dan B bersesuaian dengan -1,5.

Titik yang bersesuaian dengan 0 disebut pangkal. Arah ke kanan disebut arah

positif, sedangkan arah ke kiri disebut arah negatif.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

Pangkal

Arah positif

Arah negatif

Garis Bilangan dengan Bilangan Negatif

Menyajikan bilangan bulat negatif pada garis bilangan dan

membandingkannya.

Gambarlah garis bilangan, tandai titik-titik yang bersesuaian dengan

bilangan-bilangan berikut.

+4， +0,5， -2， -5， -3,5，

2 Membandingkan Bilangan-Bilangan

0123456

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

Ａ Ｂ

Nyatakanlah bilangan-bilangan yang bersesuaian dengan titik A, B, C, D, dan E.

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

Ａ ＢＣ Ｄ Ｅ

Tujuan

Soal 1

Soal 2

Bab 1　Bilangan Bulat 17

3

2

-

Bab 1 Bilangan Bulat 17

1.5 jam

2 Membandingkan Bilangan-Bilangan

Tujuan

1. Seperti halnya bilangan positif, bahwa

bilangan negatif pun dapat ditunjukkan

sebagai titik pada garis bilangan. Tanda “+”

dan “–” di depan bilangan, menunjukkan

apakah bilangan tersebut lebih besar atau

lebih kecil dari dari titik acuan 0.

2. Perbandingan besar bilangan positif dan

negatif berdasarkan posisinya pada garis

bilangan dan nilai mutlaknya, ditunjukkan

dengan menggunakan pertidaksamaan.

Jawaban

(1)

012345

1

2 2 3,5

2 lebih besar dari 1

2 3,5 lebih besar dari 1

(2) Perpanjang arah ke kiri dari 0 dan tentukkan

skala garis bilangan sebelumnya dengan

interval yang sama.

Soal 1 – 3

2

Soal 2

A…–3, B…–1,6  8

5

 



 , C…–0,4 

 





2

5 , D…+1,

E…+3,2 (+ 16

5 )

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

1. Penjelasan

Mengenai penjelasan pertama, saat masih

Sekolah Dasar kelas 3 siswa mempelajari istilah

garis bilangan. Garis bilangan banyak digunakan

pada pembelajaran selanjutnya. Misalnya, 3,5

adalah 3 1

2 atau

7

2 , dan 1

2 adalah 0,5, dapat

dipastikan kembali bahwa hal tersebut dapat

diwakilkan.

Pada penjelasan kedua, berdasarkan garis

bilangan yang telah dipelajari di sekolah dasar,

diperluas menjadi garis bilangan yang memuat

bilangan negatif. Dengan menggunakan garis

bilangan penjelasan pertama, garis bilangan

diperpanjang ke kiri, saat dalam menyusun,

tentukan “titik pangkal” dan “ 1 satuan panjang”,

dan arahkan bilangan positif ke kanan dan

bilangan negatif ke kiri.

Garis bilangan biasanya ditempatkan

secara horizontal, tetapi karena sumbu

koordinat juga menggunakan garis bilangan

yang ditempatkan secara vertikal, cobalah

menempatkan dengan vertikal, bleh juga

menggunakan skala termometer.

2. Penjelasan Soal 2

Oleh karena siswa terbiasa membaca garis

bilangan arah positif, sering terjadi kesalahan

dalam membaca desimal dan pecahan negatif.

Misalnya, terjadi kesalahan -1,6 menjadi -1,4 atau

-2,4, -

1

5

menjadi -

4

5

. Hal ini perlu diingat saat

mengajar.

Mana yang lebih besar, -2 atau -5?

Jelaskan dengan menggunakan garis bilangan.

Ingat bahwa pada garis bilangan,

bilangan-bilangan positif yang

letaknya di sebelah kanan adalah

lebih besar, dan yang letaknya

semakin ke kiri adalah lebih kecil.

Pada daerah bilangan-bilangan negatif, bilangan-bilangan yang letaknya semakin ke

kanan adalah lebih besar, sedangkan yang letaknya semakin ke kiri adalah lebih kecil,

demikian juga untuk bilangan-bilangan positif.

Ketika kita sajikan +4 dan +6 pada garis bilangan, bilangan manakah yang

terletak lebih jauh dari titik asal?

Membandingkan Bilangan dengan Menggunakan Garis Bilangan

Nilai Mutlak

+3，+4

+0,1，-0,2

+1，-3，0

1

3

5

-4，-6

6 -2，+5，-5

4

2

Pikirkan, mengapa

kita tidak bisa

menyatakannya

sebagai -2 < +3 > -4.

-4 -2 0 +3

-5 -2 0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6

semakin besar

semakin kecil

Diskusi

Soal 3

Untuk -2 dan -5, pada garis bilangan -2 terletak di sebelah kanan dari -5.

Dengan demikian, -2 lebih besar dari -5. Hal ini dapat disajikan dengan

menggunakan tanda pertidaksamaan sebagai -5 < -2 atau -2 > -5

Kita dapat menyajikan -2 , +3 dan -4

pada garis bilangan sebagaimana yang

terlihat pada gambar di samping. Dengan

mengggunakan tanda pertidaksamaan dan

disajikan dari terkecil ke terbesar

-4 < - 2 < +3

dari terbesar ke terkecil;

+3 > - 2 > -4

Bandingkan pasangan-pasangan bilangan berikut dengan

menggunakan tanda-tanda pertidaksamaan.

Contoh 2

Contoh 1

Pada daerah bilangan-bilangan negatif, bilangan-bilangan yang letaknya semakin ke

2

3

- 1

3 , -

18 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

18 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Jika -2 dan -5 ditunjukkan pada garis lurus

bilangan, -2 di sebelah kanan -5. Bilangan -2

lebih besar karena bilangan di sebelah kanan

lebih besar begitu juga pada kasus bilangan

positif.

Soal 3

(1) +3 < +4 (4) -

2

3

< -

1

3

(2) -4 > -6 (5) -3 < 0 < + 1

(3) +0,1 > -0,2 (6) -5 < -2 < + 5

+6 lebih jauh dari titik awalnya

Pertanyaan Serupa

Nyatakan besarnya bilangan di masing-masing

pasangan berikut dengan menggunakan tanda

pertidaksamaan.

(1) -10, -15 (3) -

2

5

, -

3

5

(2) -0,7, -0,07 (4) -15, +10, -20

(1) -10 > -15 (3) - 2

5

> -

3

5

(2) -0,7 < -0,07 (4) -20 < 15 < +10

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

3. Penjelasan

Ini adalah soal untuk menjelaskan besarnya bilangan negatif dengan menggunakan garis

bilangan. Dalam kasus bilangan positif, kita telah belajar di sekolah dasar bahwa bilangan di

sebelah kanan pada garis bilangan lebih besar. Di sini, kita menekankan besarnya bilangan negatif,

–2 adalah angka 2 kurang dari 0 dan –5 adalah angka 5 kurang dari 0. Jadi jika mengambil dua

angka pada garis bilangan, dapat diketahui bahwa –2 berada di sebelah kanan –5. Berdasarkan

pernyataan anak pada gambar dan yang disebutkan diatasnya, disimpulkan sebagai “pada garis

bilangan, bilangan di kanan lebih besar dan bilangan di kiri lebih kecil”. Saat pembelajaran,

diharapkan untuk mengambil bilangan positif dan bilangan negatif dan mengembangkannya

dengan cara mengulang pelajaran.

4. Penjelasan Contoh 1 dan Contoh 2

Simbol “>, <” telah dipelajari pada tahun kedua sekolah dasar, dan istilah “pertidaksamaan”

telah dipelajari pada tahun ketiga sekolah dasar. Memang dapat dipahami bahwa simbol yang

menentukkan besarnya hubungan, tetapi dalam kasus bilangan negatif, –5 < –2 dan –2 > –5 memiliki

arti yang sama. Saat menyatakan hubungan besaran 3 angka menggunakan pertidaksamaan,

misalnya, jika menulis –2 < + 3> –4, sulit untuk dapat membaca hubungan besaran antara –2 dan

–4. Penting untuk mengetahui poin-poin yang perlu diingat saat menggunakannya.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Membandingkan nilai-nilai dua bilangan dapat dirangkum sebagai berikut.

Kamu juga dapat

memandang nilai

mutlak sebagai

bilangan tanpa tanda

+ atau - . -3 0 +4

3 4

Berturut-turut, tentukan nilai-nilai mutlak dari – 7 dan + 5,2

Tentukanlah bilangan-bilangan yang nilai mutlaknya 10 dan 2

3 .

Sekarang kita tahu bilangan-bilangan positif

dan negatif. Ketika kita belajar bilangan

baru di SD, kita juga belajar bagaimana kita

menggunakannya dalam menghitung.

Dapatkah kita menjumlahkan

menggunakan bilanganbilangan positif dan negatif,

seperti (+5) + (-3)?

0 +4 +6

4

6

Membandingkan Dua Bilangan

Bilangan-bilangan positif adalah lebih besar dari 0, bilanganbilangan negatif lebih kecil dari 0. Bilangan positif lebih besar

daripada bilangan-bilangan negatif.

Jika ada dua bilangan positif, bilangan yang nilai mutlaknya lebih

besar adalah bilangan yang lebih besar.

Jika ada dua bilangan negatif, bilangan yang nilai mutlaknya lebih

besar, adalah bilangan yang lebih kecil.

1

2

3

Hlm.21

Diskusi

PENTING

Soal 4

Soal 5

Soal 6

Jarak antara titik asal dengan titik yang bersesuaian dengan suatu bilangan yang

diketahui dinamakan nilai mutlak. Sebagai contoh, nilai mutlak dari + 4 adalah 4,

sedangkan nilai mutlak dari -3 adalah 3. Nilai mutlak dari 0 adalah 0.

Ketika membandingkan dua bilangan positif +4

dan + 6, nilai mutak dari +6 lebih besar.

Pada garis bilangan, +6 terletak lebih ke kanan.

Jadi, untuk dua bilangan positif, bilangan yang

nilai mutlaknya lebih besar merupakan bilangan

yang lebih besar.

Ketika kita membandingkan nilai-nilai mutlak dari dua bilangan negatif,

apa yang dapat kita katakan mengenai nilai-nilai mereka? Jelaskan dengan

menggunakaan gambar.

Bab 1　Bilangan Bulat 19

Bab 1 Bilangan Bulat 19

Jawaban

Soal 4

Nilai mutlak -7 adalah 7

Nilai mutlak +5.2 adalah 5.2

Soal 5

Bilangan dengan nilai mutlak 10 adalah +10 dan -10

Bilangan dengan nilai mutlak 2

3

adalah + 2

3

dan

-

2

3

Soal 6

Penjelasan dari contoh

Jika membandingkan dua bilangan negatif -6

dan -4, -6 memiliki nilai absolut yang lebih besar

sehingga pada garis bilangan -6 ada di sebelah

kiri.

Jadi, dari dua bilangan negatif tersebut,

bilangan yang besar adalah bilangan yang

memiliki nilai mutlak yang paling kecil.

0 +4 +6

4

6

5. Arti dari nilai mutlak

Dari di bagian bawah halaman buku

teks sebelumnya, targetnya adalah untuk

memberikan sudut pandang mengenai jarak

dari titik asal. Untuk menyatakan besarnya angka

menggunakan istilah matematika yaitu nilai

mutlak. Oleh karena itu, terlebih dahulu kita

harus memperjelas arti dari nilai mutlak.

Nilai absolut atau nilai mutlak sebuah

bilangan adalah jarak yang ada pada garis bilangan

antara titik asal dan titik yang bersesuaian dengan

bilangan tersebut.

Istilah nilai mutlak juga akan digunakan

dalam pembelajaran selanjutnya dari empat

aturan bilangan positif dan negatif, jadi kita

akan mencoba menetapkannya.

6. Besar dan nilai mutlak dari bilangan positif

Jika membandingkan dua bilangan positif

+4 dan +6, nilai mutlak +6 lebih besar dan pada

garis bilangan berada di sebelah kanan.

7. Penjelasan Soal 6

Berdasarkan perbandingan dua bilangan

positif, juga menyelidiki hubungan antara

besarnya dua angka negatif dan nilai mutlaknya.

Di sini, “kegiatan menjelaskan dan berkomunikasi menggunakan ekspresi matematika” menjadi

penting. Untuk itu, saya ingin menemukan cara-cara

seperti mendeskripsikan materi yang akan dijelaskan

pada sebuah catatan dan bertukar pemikiran dalam

kelompok kecil.

Berdasarkan pembelajaran tersebut, kami

merangkum hubungan antara besarnya kedua

bilangan tersebut dan nilai mutlaknya.

8. Penjelasan balon percakapan

Saya mempelajari bilangan negatif sebagai

bilangan baru, dan saya dapat menyimpulkan

besarnya bilangan positif dan negatif. Selanjutnya

dengan memikirkan bagaimana cara menghitung

(penjumlahan), saya ingin terhubung ke pembelajaran pada halaman 21.

1 Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini. Gunakan tanda positif atau

negatif untuk menyajikan besaran. Berbagai Besaran

dengan “-”

［Hlm.15］ Diketahui bahwa A adalah titik 0 km. Titik “3 km sebelah utara A”

dinyatakan sebagai +3 km. Bagaimana menyatakan titik “5 km di

sebelah selatan A”?

Apabila “rugi 200 rupiah” dinyatakan sebagai -200 rupiah,

menyatakan apa +300 rupiah?

1

2

S 3

2

Bilangan Positif dan

Negatif

[Hlm.16]

Diberikan bilangan-bilangan.

1 Mana yang merupakan bilangan positif? Mana yang negatif?

Mana yang merupakan bilangan bulat? Mana yang merupakan bilangan

asli?

2

-12 ; +7 ; 0 ; +0,6 ; -3 ; +25 ; -

S 5

3

Berbagai Besaran

dengan “-“

［Hlm.17］

Tandai titik-titik pada garis bilangan yang bersesuaian dengan bilangan

berikut ini.

-5 ; +3 ; -2,8 ;

-1 -2 -3 -4 -5 0 +1 +2 +3 +4 +5

+ S 1

4

Garis Bilangan

dengan Bilangan

Negatif

[Hlm.18]

-3 ; +5

Bandingkan pasangan bilangan-bilangan berikut ini dengan

menggunakan tanda pertidaksamaan.

-1,6 ; -2,4

1 0 ; -7

+1 ; -3 ; -2

2

3 4

Cth.1

Cth.2

Mari Kita Periksa 1 Bilangan Positif dan Negatif

5

Nilai Mutlak

[Hlm.19]

Nyatakan nilai mutlak dari +16 dan - 9

7 . Temukan bilangan-bilangan yang

nilai mutlaknya 9 dan 0 berturut-turut.

S 4

S 5

3

5

8

3

20 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

20 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Mari Kita Periksa

0.5 jam

Jawaban

1

(1) -5 km 2) Keuntungan 300 rupiah

2

(1) Bilangan positif ... +7, +0,6, +25

Bilangan negatif...-12,-3, -

2

3

(2) Bilangan bulat...-12, +7, 0 -3

+25

Bilangan asli... +7, +25

3

4

(1) -3 < + 5 (3) -1,6 > 2,4

(2) 0 > -7 (4) -3 < -2 < + 1

5

Nilai mutlak +16 adalah 16

Nilai absolut -

9

7

adalah -

9

7

Angka dengan nilai mutlak 9 adalah +9 dan -9

Angka yang nilai mutlaknya 0 adalah 0

Pertanyaan Serupa

1

2

3

Jawablah pertanyaan berikut.

(1) Sebutkan seluruh bilangan asli di bawah

6

(2) Sebutkan bilangan bulat negatif terbesar.

Jawablah pertanyaan berikut

(1) Diantara +5 atau -6, manakah yang

memiliki nilai mutlak lebih besar?

(2) Sebutkan angka dengan nilai mutlak

terkecil.

Tunjukkan besarnya bilangan pada masingmasing pasangan berikut menggunakan

pertidaksamaan.

(1) + 2

3

, +

3

4 (3) 0, + 1

5

, -

1

4

(2) -

7

4

, -1,8 (4) -

8

3 , -

1

2

, -

5

6

Jawaban

1 (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6

(+1, +2, +3, +4, +5, +6)

(2) -1

2 (1) + 2

3

< +

3

4

(2) -

7

4

> -1,8

(3) -

1

4

< 0 < + 1

5

(4) -

8

3

< -

5

6

< -

1

2

3 (1) -6

(2) 0

BAB 1 │Bilangan Bulat

Dalam permainan kartu pada , jika

seorang pemain menarik kartu +5 pada

giliran pertama dan +3 pada giliran kedua,

maka jumlah langkah perpindahan adalah

Dengan menggunakan kartu permainan , isilah tabel berikut ini dengan kalimat

matematika penjumlahan untuk menyatakan jumlah langkah perpindahan kartu.

Marilah bermain dengan kartu dari Lampiran 1 .

Aturan: kocok sekumpulan kartu terdiri atas 13 kartu

seperti ditunjukkan pada gambar di bawah. Letakkan kartu

menghadap ke bawah. Letakkan gaco (pion) masing-masing

pemain pada titik awal 0 secara bergantian. Pemain mengambil

sebuah kartu dari tumpukan. Kemudian pemain tersebut

memindahkan gaconya sesuai dengan angka yang tertulis

pada kartu. Pemain yang gaconya mencapai tujuan terlebih

dahulu, maka dia dinyatakan sebagai pemenang.

［Cara memindahkan gaco］

Jika kartu 　　　 , pindahkan gaco dua langkah mendekati tujuan.

Jika mendapat kartu 　　　 , pindahkan gaco 3 langkah menjauhi

tujuan.

Jika mendapat kartu , gaco tidak berpindah (diam).

Banyaknya langkah

pada giliran pertama

Banyaknya langkah

pada giliran kedua

Kalimat matematika penjumlahan untuk

menghitung jumlah total banyaknya langkah

Banyaknya langkah

perpindahan

-5 -3 ？

+5 -3 ？

-5 +3 ？

a

b

c

Menjumlahkan bilangan positif dan negatif menggunakan kartu.

1 Penjumlahan

2 Penjumlahan dan Pengurangan

+8. Kita dapat menyatakannya dalam kalimat penjumlahan sebagai berikut.

(+5) + (+3) = +8

… +2

-3

0

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

urutan pertama

Jumlah langkah perpindahan kartu

Tujuan

(Jumlah langkah perpindahan

pada giliran pertama )

(jumlah langkah perpindahan

pada giliran kedua)

(total jumlah langkah

perpindahan)

urutan kedua

Soal 1

…

…

Bab 1　Bilangan Bulat 21

Bab 1 Bilangan Bulat 21

8 jam

2 Penjumlahan dan Pengurangan

4 jam

1 Penjumlahan

Tujuan

1. Melalui situasi nyata, kita dapat memahami

arti dari penjumlahan bilangan positif dan

negatif.

2. Metode perhitungan penjumlahan dapat

ditentukkan dengan menggunakan garis

bilangan.

3. Anda dapat memahami aturan perhitungan

penjumlahan dengan memperhatikan

tanda dan nilai mutlak dari dua bilangan,

dan penjumlahan juga dapat dihitung

berdasarkan itu.

4. Pahami bahwa hukum komutatif dan

hukum asosiatif penjumlahan berlaku

untuk bilangan positif dan negatif, dengan

menggunakan itu penjumlahan dapat

dilakukan.

Jawaban

Soal 1

A (-5) + (-3)

I (+5) + (-3)

U (-5) + (+3)

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

1. Penjelasan

Melalui permainan kartu di akhir buku 1,

siswa diharapkan secara alami akan memiliki

pengalaman dasar berpikir tentang cara

menjumlahkan bilangan positif dan negatif.

Dianjurkan untuk memainkan permainan tersebut

berpasangan. Untuk memahami permainan

tersebut cukup dengan aturan permainan.

2. Permainan Matematika

Lihat kembali pergerakan gaco dan

nyatakan dengan rumus penjumlahan untuk

membuat game ini menjadi matematis. Terlepas

dari apakah bilangan yang menunjukkan

pergerakan kartu adalah bilangan positif atau

bilangan negatif, pengulangan gerakan gaco

dianggap sebagai penjumlahan.

Saat ini, karena konsep tanda positif

dan negatif serta simbol aritmatika berbeda,

maka lebih mudah bagi siswa untuk juga

membedakan cara menuliskannya. Salah satu

cara untuk membedakannya adalah dengan

menuliskan bilangan positif dengan warna biru,

bilangan negatif dengan warna merah, dan

simbol aritmatika + dengan atau warna lain.

Referensi Cara penulisan tanda

positif dan negatif di luar

negeri

Untuk memperjelas perbedaan antara

tanda positif dan negatif dan simbol aritmatika,

di beberapa negara, tanda positif dan negatif

ditulis kecil dan simbol aritmatika ditulis besar

sebagai berikut.

(

+5) + (-

3) = +2 (+5) - (-

3) = +8

Namun, di Indonesia, tanda positif

dan negatif serta simbol aritmetika secara

tradisional ditulis dalam ukuran yang sama.

Oleh karena itu, pada tahap pengenalan operasi

bilangan positif dan negatif, disarankan untuk

merancang seperti yang dijelaskan pada 2.

+3

(-5) + (-3) = -8

(+5) + (+3) Dari 0, geser 5 langkah satuan ke

arah positif.

Lanjutkan geser 3 langkah ke

arah positif.

1

2

Dari titik 0, geser 5 langkah ke

arah negatif.

Lanjutkan geser 3 langkah ke

arah negatif.

(-5) + (-3)

Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah.

(+3) + (+4) (-2) + (-6)

(+5) + (-3) Mulai dari 0, geser 5 langkah ke

arah positif.

Lanjutkan dengan geser 3

langkah ke arah negatif.

Kita akan menjelaskan penjumlahan (-5) + (+3) menggunakan garis bilangan.

Isilah kotak dengan bilangan atau kata yang tepat.

(-5) + (+3) =

Mulai dari 0, geser ke arah

negatif.

Geser 3 langkah ke arah . +3 ？ 0

-5

+5 0

+5

-8 -5 0

0 +5 +8

(+5) + (+3) = +8

0 0

Menjumlahkan Dua Bilangan yang Tandanya Sama

Menjumlahkan Dua Bilangan yang Berbeda Tanda

1

2

(+5) + (-3) = +2

Contoh1

Contoh 2

1 2

Perhatikan kalimat-kalimat penjumlahan matematika yang telah kita pelajari di

halaman sebelumnya. Kita akan menyajikan dalam garis bilangan.

+8

+5

-3 -5

-8

2 1

1 2

+2

+2

-3

-5

-2

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

Jadi, jumlah langkah pergeseran

adalah 8.

Jadi, jumlah langkah pergeseran

adalah 8.

Jadi, jumlah langkah pergeseran

adalah +2.

Jadi, jumlah langkah pergeseran

adalah .

Soal 2

Soal 3

22 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

22 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Soal 2

(1)

(+3) + (+4) = +7

(2)

(-2) + (-6) = -8

Soal 3

5, positif, -2, -2

Pertanyaan Serupa

Gunakan garis bilangan untuk melakukan

perhitungan berikut.

(1) (+4) + (+1) (3) (-4) + (-1)

(2) (+2) + (+5) (4) (-2) + (-5)

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

3. Penjelasan dari Contoh 1

Pada halaman sebelumnya, pergerakan

gaco telah di matematiskan dengan rumus

penjumlahan. Jawaban ini diperoleh dengan

metode vektor (penjumlahan pada vektor).

Dalam contoh (1), +5 dan +3 diwakili oleh

vektor-vektor yang menunjuk ke kanan, dan

dipastikan kembali pada garis bilangan bahwa

jumlahnya adalah +8. Selain itu, dalam contoh

(2), -5 dan -3 diwakili oleh vektor kiri, dan

dipastikan kembali pada garis bilangan bahwa

jumlahnya adalah -8. Keduanya merupakan

penjumlahan dari dua bilangan dengan tanda

yang sama. Oleh karena merupakan vektor yang

menunjuk ke arah yang sama, penjumlahan

tersebut akan mudah dilakukan oleh siswa.

(1) +5 (3) -5

(2) +7 (4) -7

Garis bilangan dihilangkan

4. Penjelasan dari Contoh 2 , Soal 3 , dan

Soal 4

Dalam Contoh 1 dan Soal 2, kita telah

memikirkan cara mencari jumlah dari dua

bilangan dengan tanda yang sama. Akan

tetapi di sini kita menemukan jumlah dari dua

bilangan dengan tanda yang berbeda.

Dalam Contoh 2, +5 adalah vektor arah

kanan, -3 adalah vektor arah kiri dan jumlahnya

adalah +2 yang merupakan vektor arah kanan.

Dalam Soal 3, -5 adalah vektor arah kiri, +3

adalah vektor kanan dan jumlahnya -2, yang

merupakan vektor arah kiri. Oleh karena

penjumlahan dua bilangan dengan tanda

berbeda mka penjumlahan vektor dalam arah

yang berlawanan, jawabannya bisa positif atau

negatif. Dengan pertimbangan tersebut, saya

ingin dapat mengerjakan Soal 4 .

BAB 1 │Bilangan Bulat

Kita telah mempelajari bagaimana menjumlahkan dua bilangan yang

bertanda sama dan berbeda tanda. Selanjutnya, marilah kita diskusikan

pengamatan kita akan tanda-tanda pada bilangan dan nilai mutlak.

Operasi penjumlahan bilangan positif dan negatif juga disebut penjumlahan.

Hitunglah dengan menggunakan garis bilangan.

(+2) + (-6) (-2) + (+7)

0 0

Jumlah dua bilangan bertanda sama.

　(+9) + (+3)

= +(9 + 3)

= +12

　(-18) + (-5)

= - (18 + 5)

= -23

Jumlah dua bilangan yang berbeda tanda.

　(-10) + (+6)

= - (10 – 6)

= - 4

　(+27) + (-12)

= +(27 – 12)

= +15

Hitunglah.

Penjumlahan Menggunakan Tanda dan Nilai Mutlak

(+5) + (+3) = +8

(-5) + (-3) = -8

(+5) + (-3) = +2

(-5) + (+3) = -2

1 2

1 2

1 2

(+4) + (+13) (-8) + (-16)

(-7) + (+8) (+14) + (-19)

1 2

3 4

Hitunglah jumlah +3 dan -3.

Diskusi

［jumlah dua bilangan yang

bertanda sama］

［Jumlah dua bilangan yang

berbeda tanda］

Contoh 3

Contoh 4

Soal 4

Soal 5

Soal 6

Bab 1　Bilangan Bulat 23

Bab 1 Bilangan Bulat 23

Jawaban

Soal 4

(1)

(+2) + (-6) = -4

(2)

(-2) + (+7) = +5

Jelaskan karakteristik berikut dengan caramu

sendiri, akan lebih baik jika bisa menemukannya

dalam kerja sama.

1 Jumlah 2 bilangan bertanda sama… Tanda

sama dengan 2 bilangan, nilai mutlak

adalah penjumlahan dari 2 bilangan.

2 Jumlah dari dua bilangan dengan tanda

berbeda ... Tanda dari nilai mutlak yang

paling besar dari dua bilangan, nilai

mutlaknya adalah selisih bilangan angka

tersebut.

Soal 5

(1) +17 (3) +1

(2) -24 (4) -5

Soal 6

(+3) + (-3) = 0

5. Tambahan

Istilah “jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi”

dipelajari di kelas 4 Sekolah Dasar. Akan tetapi

istilah “penjumlahan, pengurangan, perkalian,

dan pembagian” akan dipelajari untuk pertama

kalinya dalam bab ini.

6. Penjelasan

Sejauh ini, penjumlahan dari dua angka

telah dihitung menggunakan metode vektor.

Berdasarkan hasil ini, kami mempertimbangkan

untuk menemukan jumlah dari dua bilangan

dengan berfokus pada tanda dan nilai mutlak

Berdasarkan diskusi siswa, ini adalah

salah satu cara untuk meringkas karakteristik

tanda dan nilai mutlak dua bilangan dan

untuk menunjukkan apakah penjumlahan

dari Soal 2 dan Soal 4 pada halaman

sebelumnya juga termasuk

7. Penjelasan Contoh 3 dan Contoh 4

Berdasarkan pembelajaran , kami menunjukkan metode perhitungan yang berfokus

pada tanda dan nilai mutlak dari dua bilangan.

Penjumlahan dua bilangan dengan tanda yang

sama pada Contoh 3 relatif mudah untuk dipahami,

tetapi penjumlahan dua bilangan dengan

tanda yang berbeda pada Contoh 4 menyulitkan

siswa yang kurang pandai berhitung, karena

melibatkan operasi pengurangan. Mengingat ini

adalah metode kalkulasi yang merupakan dasar

dari gagasan penjumlahan aljabar pada tahap

akhir pengurangan dan penjumlahan, maka

perlu untuk menanganinya dengan hati-hati

menggunakan garis bilangan. Mungkin perlu

untuk menunjukkan satu hasil kalkulasi dengan

menggunakan garis bilangan bergantung pada

situasi siswa.

Ringkasan Hasil Penjumlahan Bilangan Positif dan Negatif

Bilangan berapapun jika ditambah dengan nol hasilnya sama dengan bilangan

itu sendiri. Sebagai contoh, (3) + 0 = 3. Demikian juga, 0 ditambahkan bilangan

hasilnya adalah bilangan tersebut. Contohnya, 0 + (-2) = -2

　(-1,2) + (-0,5)

= -(1,2 + 0,5)

= -1,7

Hitunglah.

(0,3) + (1,2)

Kita dapat memikirkannya

sebagaimana

penjumlahan bilanganbilangan bulat.

5

Penjumlahan Bilangan Desimal dan Pecahan

(-0,7) + (0,5)

2

4

6

1 2

3

1 　(-1,2) + (-0,5)

Hitunglah.

1 (9) + (5) 3 (+8) + (-3)

5 (-21) + (21)

2 (-5) + (-7)

4 (-25) + (16) 6 0 + (-37)

Contoh 5

(1,4) + (-0,9)

|

Hasil Penjumlahan Bilangan Positif dan Negatif

Jumlah dua bilangan berbeda tanda dan memiliki nilai mutlak sama

adalah 0.

1 Tanda: sama dengan tanda dua bilangan tersebut

Nilai mutlak: jumlah tersebut nilai mutlak dari dua

bilangan

Jumlah dua

bilangan bertanda

sama

2

Tanda: sama dengan tanda bilangan dengan

nilai mutlak terbesar

Nilai mutlak: selisih antara nilai mutlak bilangan

yang lebih besar dengan yang lebih kecil

Jumlah bilangan

berbeda tanda

Cobalah

Hlm.35

Pengayaan 1-1

| Penting

Soal 7

Soal 8

1

2 （ ）+（- ） 2

2

3

=（ ）+（- ） 3

6

4

6

= -（ ）4 +（ ） 6 （ ）3

6

= - 1

6

（- ）+（- ） 1

2

3

4

（- ）+（- ） 3

5

4

5

（ ）+（- ） 1

4

5

6

24 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

24 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Soal 7

(1) +14 (4) -9

(2) -12 (5) 0

(3) +5 (6) -37

Soal 8

(1) +1,5 (4) + 1

5

(2) -0,2 (5) -

5

4

(3) +0,5 (6) - 7

12

Pertanyaan Serupa

Kerjakan perhitungan berikut

(1) (-3,8) + (-5,7) (4) - +

3

8

5

6









(2) (+1.02) + (-9.4) (5) + -

1

4

0 75 



  (0,75) .

(3) - -

1

3

3

4









(1) -9,5 (4) + 11

24

(2) +0,8 (5) -

1

2

(3) -

13

12

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

8. Ringkasan penjumlahan

Ringkasan ini merangkum pembelajaran Contoh 3, Contoh 4, Soal 5, dan Soal 6 pada halaman

sebelumnya.

Bentuk operasi (+3) + 0 = + 3,0 begitu juga 0 + (-2) = -2 yang tertulis di bawah ringkasan

menunjukkan bahwa 0 adalah elemen satuan penjumlahan. Harap diperhatikan bahwa sangat

mudah bagi siswa untuk membuat kesalahan ini.

9. Penjelasan Contoh 5

Penjumlahan 2 angka yang kita pelajari sampai saat ini hanya bilangan bulat. Disini, target

bilangan diperluas ke desimal dan pecahan. Kemudian, ajak siswa untuk memahami paham bahwa

penjumlahan decimal dan pecahan dapat dihitung dengan cara yang sama seperti penjumlahan

bilangan bulat.

Bagi siswa yang memiliki kemampuan rendah dalam menyelesaikan operasi desimal dan

pecahan yang telah dipelajari di sekolah dasar, disarankan untuk mengingat kembali kembali

dengan memanfaatkan “Perhitungan Sekolah Dasar” di halaman 277. Saat itu, kita tidak hanya

menyinggung antarsesama desimal dan pecahan saja, tetapi juga perubahan dari desimal ke

pecahan dan dari pecahan ke desimal.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Ulasan Apakah aturan penjumlahan yang telah

kita pelajari di Sekolah Dasar juga berlaku

pada penjumlahan bilangan positif dan

negatif? Hitunglah a dan b kemudian

bandingkan. Periksa kembali dengan

menggunakan beberapa bilangan yang lain.

(5) + (-7)

(-7) + (5)

{(-3) + (6)} + (4)

(-3) + {(6) + (-4)}

1

2

Sifat berikut ini juga berlaku pada jumlahan bilanganbilangan positif dan negatif.

Sifat komutatif penjumlahan

a + b = b + a

Sifat asosiatif penjumlahan

(a + b) + c = a + (b + c)

Kita dapat menggunakan sifat komutatif dan asosiatif

penjumlahan untuk mengubah urutan bilangan

penghitungan (operasi).

Kita dapat mengganti

dengan suatu bilangan,

termasuk bilangan positif,

bilangan negatif, dan 0.

(11) + (-5) + (9) + (-7)

= (11) + (9) + (-5) + (-7)

= (20) + (-12)

= 8

Hitunglah.

Menukar tempat dua bilangan

yang dijumlahkan tidak akan

mengubah hasilnya.

　　□+△=△+□

Ketika menjumlahkan tiga

bilangan, mengubah urutan

penjumlahan tidak akan

mengubah hasilnya.

　　　 ( □ + △ ) + ◯

　　= □ + ( △ + ◯ )

Kamu dapat menemukan aturan

penjumlahan dengan jawaban dari

pernyataan matematis jumlahan.

Berpikir Matematis

1 (-12) + (7) + (-6) + (3)

2 (19) + (-5) + (-28) + (-14)

Contoh 6

a

b

a

b

Ubah urutan bilangan berdasarkan sifat

komutatif.

Jumlahkan bilangan positif dengan

bilangan positif, bilangan negatif dengan

bilangan negatif menggunakan sifat

asosiatif.

Kita juga dapat menggunakan simbol [ ]

untuk menggantikan { } kurung kurawal

Sekarang kita dapat menjumlahkan bilangan

positif dan negatif seperti yang kita lakukan di

sekolah dasar.

Apakah kita juga dapat

membagi bilangan positif dan

negatif? Hlm.26

Catatan

Kelas VI - I

Hlm. 95

Sifat Komutatif dan Asosiatif Penjumlahan

Soal 9

Bab 1　Bilangan Bulat 25

Bab 1 Bilangan Bulat 25

Jawaban

(1) Baik a dan b sama dengan -2.

Contoh

(-2) + (+6) = +4

(2) Baik a dan b sama dengan -1

Contoh {(-1) + (+5)} + (–2) = +2

(-1) + {(+5) + (-2)} = +2

Soal 9 Contoh

(1) Persamaan yang ditetapkan

= (-12) + (-6) + (+7) + (+3)

= (-18) + (+10)

= -8

(2) Persamaan yang ditetapkan

= (+19) + {(-5) + (-14)} + (-28)

= (+19) + (-19) + (-28)

= 0 + (-28)

= -28

10. Penjelasan

Ini merupakan permasalahan untuk

memastikan apakah aturan penjumlahan

(sifat komutatif dan sifat asosiatif) yang

dipelajari di kelas 4 sekolah dasar berlaku untuk

penjumlahan bilangan positif dan negatif.

Pastikan kembali perbedaan rumus a dan b dan

mengerjakannya.

11. Penjelasan pemikiran matematis 2

Ini adalah contoh cara berpikir induktif,

tapi saya ingin membuat orang menyadarinya

sebagai salah satu cara berpikir matematis

Di sini, selain rumus yang ditunjukkan di

, pastikan dengan angka konkret sehingga

dapat menurunkan rumus yang telah dipelajari

di sekolah dasar

12. Penjelasan Contoh 6

Contoh 6 menunjukkan metode kalkulasi

yang menjadi dasar penjumlahan aljabar. Untuk

membantu memahami cara menggunakan

hukum penghitungan, mungkin ingin memperlihatkan prosedur berikut ini.

Contoh (+3) + (-9) + (+4)

= {(+3) + (-9)} + (+4)

= (+3) + {(-9) + (+4)}

= (+3) + {(+4) + -9)}

= {(+3) + (+4)} + -9)

= (+7) + (-9)

= -2

13. Penjelasan balon percakapan

Mengenai penjumlahan bilangan positif

dan negatif, saya belajar bahwa metode

perhitungan sejauh ini berhasil. Selanjutnya

tentang yang akan dipelajari selanjutnya

saya ingin memperlakukannya seolah-olah

itu mengalir secara alami ke pembelajaran

pengurangan, seperti membiarkan saya

memprediksi apa yang akan saya pelajari.

Sifat asosiatif

Sifat komutatif

Sifat asosiatif

Pada permainan kartu pada

Lampiran 1 , dua anak kakak

beradik bergantian memindahkan

gaco mereka. Anak yang lebih tua

memindah +2, sementara adiknya

memindahkan +5. Pada giliran

selanjutnya, berapa langkah dan

ke arah mana anak yang lebih tua

harus memindah gaconya agar dapat

menyusul adiknya?

mempelajari pengurangan bilangan-bilangan positif dan negatif.

2 Pengurangan

+1 +2 +3 +4 +5 +6

Pada permainan kartu dalam , anak yang lebih tua melewati adiknya dengan

memindahkan gaco (pion) sejauh langkah pada giliran kedua. Kita

simpulkan ke dalam kalimat matematika jumlahan berikut.

(+2) + ( ) = +5

Jadi, untuk menentukan bilangan pada

maka kita dapat menyelesaikan kalimat

matematika berikut ini.

(+5) - (+2) =

Melanjutkan permainan kartu pada , isilah tabel berikut ini dengan kalimat

pengurangan untuk menghitung banyaknya langkah perpindahan pada

giliran kedua.

Banyaknya langkah

pada giliran pertama

Banyaknya langkah

pada giliran kedua

Jumlah langkah

perpindahan

Kalimat pengurangan untuk menghitung

banyaknya langkah pada giliran kedua

+4 ？ +1

-3 ？ +2

-2 ？ -6

b

a

c

… … …

Seperti telah kita pelajari di sekolah dasar,

kita dapat memandang pengurangan

bilangan positif dan negatif sebagai kebalikan

dari penjumlahan

Berpikir Matematis

Tujuan

(jumlah langkah

perpindahan)

(banyaknya langkah

pada giliran pertama)

(banyaknya langkah

pada giliran pertama)

(banyaknya langkah pada

giliran kedua)

(banyaknya langkah pada

giliran kedua)

(jumlah langkah

perpindahan)

Soal 1

Sumber: Dokumen Puskurbuk

…

…

…

26 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

26 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

2 jam

2 Pengurangan

Tujuan

1. Memahami arti pengurangan bilangan

positif dan negatif, serta mampu melakukan

pengurangan dengan menggunakan garis

bilangan.

2. Dengan mencari tahu hubungan antara

pengurangan dan penjumlahan, dapat

memahami aturan aturan pada operasi

pengurangan berdasarkan pada operasi

penjumlahan yang telah dipelajari.

Jawaban

Gerakkan 3 ke arah tujuan

Soal 1

.. (+1) - (+4)

.. (+2) - (-3)

.. (-6) - (-2)

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

1. Penjelasan

Hanya perlu memahami secara intuitif bahwa harus bergerak 3 ke arah tujuan. Hal ini akan

berhubungan dengan pembelajaran berikutnya

2. Permainan Matematika

Permainan matematika dengan mengungkapkan apa yang dibahas di Q dengan operasi

pengurangan. Dengan kata lain, jika pergerakkan kedua adalah ? hubungan ini dapat

ditunjukkan dengan bentuk operasi berikut

(+2) + ( ) = +5

Di sini, karena pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan,

(+5) - (+2) =

3. Penjelasan pemikiran matematis 1

Dalam matematika, menggunakan analogi adalah ide yang sangat penting, dan siswa diarahkan

untuk dapat memahami melalui ide tersebut.

4. Penjelasan pemikiran matematis 1

Buatlah kemungkinan untuk menerapkan “permainan matematika” yang dipelajari di Q

untuk berbagai kasus. Sebagai contoh, A pertama kali menulis (-3) + ( ) = + 2, dan kemudian

diturunkan menjadi bentuk (+2) - (- 3) =

BAB 1 │Bilangan Bulat

Jelaskan bagaimana menghitung (-6) – (-2) dengan menggunakan garis

bilangan.

Dari +4 ke +1 berjarak 3 satuan ke

arah negatif. Jadi, banyaknya langkah

perpindahan gaco pada giliran kedua

adalah -3.

Hitunglah menggunakan garis bilangan.

(+2) – (+4) (+3) – (-6)

Operasi pengurangan bilangan positif dan negatif juga disebut pengurangan

dan hasilnya disebut selisih.

-6 -2 0

0 0

1 2

Contoh 1

Marilah kita perhatikan kalimat-kalimat pengurangan yang telah kita susun

sebelumnya. Kita akan menyajikannya dalam garis bilangan.

Perhatikan bagaimana mengurangi

bilangan dengan bilangan lain pada

garis bilangan. +5 adalah satuan ke

arah positif dari +2. Jadi, banyaknya

langkah pada giliran kedua adalah

+3. Sehingga kita peroleh.

(+5) – (+2) = +3

+2 +5 0

+5

Pada giliran kedua, pindah

tiga satuan (langkah) ke arah

positif

0 +2 +5

+2 ？

+3

Dari -3 ke +2 berjarak 5 satuan ke

arah positif. Jadi, banyaknya langkah

perpindahan gaco pada giliran kedua

adalah +5.

(+1) – (+4) = -3

(+1) – (+4)

0 +1 +4

-3

(+2) – (-3)

-3 0 +2

(+2) – (-3) = +5

+5

3 (-1) – (+3) 4 (-4) – (-5)

0 0

1 2

2

Diskusi

Contoh 2

Soal 2

Soal 3

Bab 1　Bilangan Bulat 27

Bab 1 Bilangan Bulat 27

Jawaban

Soal 2

-6 adalah, dari -2 bergerak 4 ke arah negatif,

maka gerakkan keduanya adalah -4.

Soal 3

(1)

(+2) - (+4) = -2

(2)

(+3) - (-6) = +9

(3)

(-1) - (+3) = -4

(4)

(-4) - (-5) = +1

5. Operasi pengurangan pada garis bilangan

Bilangan di atas panah sesuai dengan

operasi penjumlahan (+2) + ( ) = + 5. Lihat

gambar pada buku teks, selanjutnya kita akan

beralih ke metode yang dipelajari di sekolah

dasar.

Artinya, operasi a-b (a ≥ 0, b ≥ 0, a ≥ b)

adalah metode pengurangan untuk mencari

seberapa besar a lebih besar dari b.

1 Ambil a dan b pada garis bilangan

2 Lihat a dari posisi b

Dengan demikian diperoleh nilai a-b.

Penjelasan halaman ini berlaku untuk

bilangan positif dan negatif. Disini kita

membahas (+5) - (+ 2) = + 3, namun jika melihat

posisi +5 dibandingkan dengan posisi +2 pada

garis bilangan, itu berarti menjadi +3

6. Penjelasan Contoh 1 dan Contoh 2

Seperti yang kita pelajari di sekolah dasar,

kita dapat membaca nilai a-b menggunakan

garis bilangan. Akan tetapi kali ini kita memperluasnya menjadi bilangan positif dan negatif.

Pada Contoh 1 adalah contoh kasus di mana a > b

dan b adalah bilangan negatif, dan pada Contoh 2

lebih lanjut pada kasus di mana a-b adalah a < b.

Diberikan soal-soal pengurangan 1 - 4 , di sebelah kiri dan pernyataan

penjumlahan 1 - 4 di sebelah kanan. Untuk setiap kalimat pengurangan,

pilihlah kalimat penjumlahan yang hasilnya sama. Kemudian isilah .

Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, diskusikan hasil pengamatanmu.

Dari , kita dapat menyimpulkan sebagai berikut.

(+3) – (+5) =

(+3) – (-5) =

(-3) – (+5) =

(-3) – (-5) =

(+3) + (+5)

(+3) + (-5)

(-3) + (+5)

(-3) + (-5)

“mengurangi +5” sama hasilnya dengan “menambah -5”.

“mengurangi -5” sama hasilnya dengan “menambah +5”.

Ubahlah kalimat pengurangan berikut ini menjadi kalimat-kalimat

matematika penjumlahan. Selanjutnya hitunglah hasilnya.

(+5) – (+12)

(-15) – (+10)

Hubungan antara Penjumlahan dan Pengurangan

1

2

3

4

1 2

3 4

1

3

(+3) – (-8)

(-7) – (-7)

2

4

Pengurangan Bilangan Positif dan Negatif

Pengurangan dari bilangan positif dan negatif caranya adalah dengan

mengubah tanda bilangan yang dikurangkan, kemudian menambahkannya.

Pengurangan bilangan positif dan negatif dapat dirangkum sebagai berikut.

1

2

3

4

Diskusi

PENTING

　(+6) – (+9)

= (+6) + (-9)

= -3

　(-4) – (+10)

= (-4) + (-10)

= -14

　(+6) – (-9)

= (+6) + (+9)

= +15

　(-4) – (-10)

= (-4) + (+10)

= +6

Contoh 3

Soal 4

28 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

28 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

(1) 2 (+3) + (-5)

(2) 1 (+3) + (+5)

(3) 4 (-3) + (-5)

(4) 3 (-3) + (+5)

Contoh Diskusi

Pengurangan +5 memberikan hasil kalkulasi yang sama dengan menambahkan -5.

Pengurangan -5 memberikan hasil kalkulasi

yang sama seperti menambahkan +5.

Soal 4

(1) (+5) + (-12) = -7

(2) (+3) + (+8) = +11

(3) (-15) + (-10) = -25

(4) (-7) + (+7) = 0

Pertanyaan Serupa

Hitung pengurangan berikut dengan mengubahnya menjadi penjumlahan.

(1) (+7) - (+3)

(2) (+9) - (-4)

(3) (-8) - (+2)

(4) (-10) - (-3)

(1) (+7) + (-3) = +4

(2) (+9) + (+4) = +13

(3) (-8) + (-2) = -10

(4) (–10) + (+3) = -7

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

7. Penjelasan

Pada halaman sebelumnya, kita telah

membahas metode pengurangan dengan menggunakan garis bilangan. Di halaman ini, kita akan

belajar mempredikisinya dengan berfokus pada

hubungan dengan penjumlahan. Di sini, kita akan

menyelesaikan dua masalah berikut.

Bandingkan operasi pengurangan dan

operasi penjumlahan yang berhubungan

dengan a dan temukan hubungan antara

pengurangan dan penjumlahan secara induktif.

Dapat dikatakan bahwa ini sesuai dengan

aktivitas matematika a (aktivitas yang menemukan

dasar baru berdasarkan apa yang telah dipelajari).

Melalui diskusi siswa, cobalah untuk meringkas

seperti pada kolom menyimpulkan di buku teks.

8. Penjelasan Contoh 3

Berdasarkan apa yang ditemukan di

, ubah operasi pengurangan ke operasi

penjumlahan dan temukan jawabannya.

Bergantung pada kemampuan siswa, jika

diperlukan, gunakan garis bilangan untuk

memastikan bahwa jawabannya benar

Belum lagi disini,masing-masing + dan –

dari angka yang akan dikurangi dan jumlah

penurunan akan ditampilkan. Saat ini, untuk

(1) dan (4), jika nilai mutlak penurunan diubah,

tanda dari hasilnya dapat berubah menjadi +

dan-, seperti yang ditunjukkan pada contoh

berikut.

Contoh (1)‘ (+6) - (+1) = +5

(2)’ (-4) - (-3) = -1

Kasus (1) di atas, sesuai dengan pengurangan

Sekolah Dasar.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Mengurangkan bilangan dari 0 sama dengan mengubah tanda bilangan

tersebut. Mengurangkan bilangan dengan 0, maka selisihnya adalah bilangan

itu sendiri.

(+8) – 0 = +8, (-1) – 0 = -1

Pengurangan Bilangan Desimal dan Pecahan

Hitunglah.

1 0 – (+3) 2 0 – (-5)

Hitunglah.

(+8) – (+2) (+3) – (+7) (+5) – (-4)

(-12) – (+9) (-27) – (-15) (-16) – (-16)

(+38) – (-12) (-10) – 0 0 – (-24)

1 2 3

4 5 6

7 8 9

　(+3,2) – (-1,8)

= (+3,2) + (+1,8)

= +5

1 　(+3,2) 2

Hitunglah.

(-2,7) – (-3,4)

3

1

5

(-1) – (+0,8)

4

2

　(- 0,75) –（- ） 6

Saya Bertanya

Apakah sifat komutatif dan

asosiatif juga berlaku dalam

pengurangan?

Hlm.34

Berdasarkan prakiraan cuaca di Jawa Barat pada halaman 13, jawablah

pertanyaan berikut ini.

Susunlah kalimat matematika untuk menentukan suhu pagi dan siang

hari di Bekasi, kemudian tentukan jawabanmu.

Lakukan seperti soal nomor (1) untuk suhu di Cirebon pada siang dan

dini hari.

1

2

Cobalah

Hlm.35

Pengayaan 1-2

Contoh 4

Soal 5

Soal 6

Soal 7

Soal 8

（- ）1 –（- ） 2 （- ）1

3

=（- ）+（ ） 1

2

1

3

=（- ）+（ ） 3

6

2

6

=（- ） 1

6

（ ）1 –（- ） 5 （- ）4

5

（- ）3

4

（- ）3 –（- ） 4 （- ）1

2

（- ）– (+0,4) 7

4

Bab 1　Bilangan Bulat 29

Bab 1 Bilangan Bulat 29

Jawaban

Soal 5

(1) -3 (2) +5

Soal 6

(1) +6 (6) 0

(2) -4 (7) +50

(3) +9 (8) -10

(4) -21 (9) +24

(5) -12

Soal 7

(1) (-5) – (-2) = -3 (2) 0 – (-3) = +3

Soal 8

(1) +0,7 (4) -

5

4

(2) -18 (5) 0

(3) +1 (6) -

5

4

9. Penjelasan Soal 5

Di sini, metode perhitungan untuk

mengubah bentuk pengurangan menjadi bentuk

penjumlahan juga diterap-kan pada operasi yang

mengandung 0.

10. Penjelasan Soal 7

Dalam memanfaatkan pengurangan pada

situasi sehari-hari. Dapat juga menggunakan

permasalahan pada halaman 12 dan 13.

Dalam (1), (suhu maksimum hari sebelumnya) + (-2) = -5, dan (suhu maksimum hari

sebelumnya) = (-5) - (-2). Hal yang sama

berlaku untuk (2), yang berhubungan dengan

persamaan yang mengandung 0.

11. Penjelasan Contoh 4 dan Soal 8

Di sini, pengurangan yang telah dilakukan

dengan bilangan bulat, diperluas menjadi

desimal dan pecahan. Pada Contoh 4 menunjukkan

contoh antardesimal dan antarpecahan, tetapi

pada Soal 8 (5) dan (6), desimal dan pecahan

dicampur.

Ada kemungkinan bahwa beberapa siswa

memiliki kemampuan rendah dalam desimal

dan pecahan di sekolah dasar, jadi saya ingin

melakukan perubahan dari desimal ke pecahan

dan dari pecahan ke desimal dengan hati-hati.

Begitu juga, seperti dalam kasus baris

ketiga dari Contoh 4 (2), berhati-hatilah untuk

tidak menambahkan penyebut

12. Penjelasan dari mari coba, beri tahu

Untuk siswa yang menyelesaikan

Soal 8 lebih awal, dengan meminta mereka

mengerjakan “Ayo coba” dan “Katakan padaku!”,

adalah memungkinkan untuk membidik

perhitungan dan memperdalam pemahaman

tentang metode pengurangan.Kita manfaatkan

pembelajaran halaman 34 tentang “Apakah

sifat komutatif atau sifat asosiatif berlaku pada

operasi pengurangan?”

Kereta Api Argo Bromo Anggrek dari Jakarta ke Surabaya

berhenti di beberapa stasiun. Tabel ini menunjukkan beberapa

stasiun yang dilalui dan jarak antarstasiun di kedua kota

berturutan. Stasiun Gambir ditetapkan sebagai titik awal 0 km,

dan arah dari Gambir ke Surabaya adalah arah positif.

Jika Kota Pekalongan sebagai titik pangkal, bagaimana kita menyatakan jarak

antardua stasiun berturutan? Gunakan bilangan positif dan negatif. Isilah tabel

berikut ini dengan bilangan yang sesuai.

Stasiun Gambir (Jakarta) Cirebon Pekalongan Semarang Bojonegoro Pasar Turi, Surabaya

Jarak (km) 0 +219 +356 +437 +610 +713

Stasiun Gambir (Jakarta) Cirebon Pekalongan Semarang Bojonegoro Pasar Turi, Surabaya

Jarak (km) 0 +81

Mari Mencoba

Kita dapat mengurangkan

bilangan positif dan negatif

dengan mengubah menjadi

penjumlahan.

Meskipun penjumlahan melibatkan tiga

angka, seperti (+2) + (-5) - (-4), kita tetap bisa

mengubahnya menjadi penjumlahan.

Menghitung dengan Menggunakan Kartu

Saya bermain kartu bilangan. Kartu hitam mewakili bilangan positif, dan kartu

merah mewakili bilangan negatif. Permainan terdiri atas empat ronde. Hitunglah

total nilai (skor) untuk masing-masing ronde?

Saya memiliki +5 di tangan saya,

dan saya meletakkan 3 merah. 2

(+5) + (-3) =

+5

4 Saya memiliki +8 di tangan:

+8

(+8) - (-3) =

Tentukan aturan permainan, kemudian kamu dapat mencobanya sendiri.

1

+5

3

Saya memiliki +5 di tangan saya,

dan saya meletakkan 3 hitam.

(+5) + (+3) =

Saya memiliki +2 di tangan:

+2

(+2) - (+3) =

3

3

3

3

2

2

A

A

4

4

3

3

3

3

2

2

5

5

3

3

3

3

4

4

Hlm.31

Cermati

saya mengambil 3 hitam. saya mengambil 3 merah.

Sumber: Dokumen Puskurbuk

30 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

30 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Dari sebelah kiri tabel -356, -137, +254, +357

Cermati

1 +8 3 +2

2 +2 4 +8

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

13. Penjelasan

Saat titik pangkal 0 km adalah dari Stasiun

Gambir. Kita dapat mencari tahu jawabannya

dengan metode pengurangan jarak-jarak dari

Strasiun Pekalongan.

Sebagai penerapan dari masalah ini, perlu

dipikirkan bagaimana mengungkapkannya

ketika titik pangkal 0 km dari Stasiun Semarang

Tawang ke dilakukan perubahan arah ke Stasiun

Gambir menjadi arah positif.

14. Penjelasan dari balon

Tekankan pada bentuk operasi pengurangan, dapat diubah ke metode penjumlahan.

Perhatikan perhitungan di mana bentuk

penjumlahan dan bentuk pengurangan

dicampur pada bagian selanjutnya dan tanyakan

tentang prediksi tersebut.

15. Mari menghitung menggunakan permainan

kartu

Permainan kartu ini diatur untuk

digunakan dalam situasi khusus penjumlahan

dan pengurangan bilangan positif dan negatif.

selain itu permainan kartu ini dapat juga

dipraktikkan sebagai media pembelajaran

untuk mendapatkan aturan perhitungan

penjumlahan dan pengurangan.

Dalam permainan ini, tambahkan “ambil

kartu” dan kurangi “ambil kartu”. Dengan begitu,

pada ronde 4, dengan mengambil -3, +3 yang

telah membatalkan satu sama lain sampai saat

itu dihidupkan kembali, dan menurunkan (+5) -

(- 3) = (+5) + (+3)

Permainan kartu ini juga memungkinkan

untuk menghubungkan perhitungan penjumlahan dengan penjumlahan aljabar (Pengajaran

pada halaman 31).

Contoh cara melanjutkan permainan

Jumlah pemainnya 4 sampai 6 orang,

setiap orang memperoleh 4 kartu. Misalnya,

dimainkan untuk 5 orang, gunakan 20 kartu

dari 1 sampai 5 ditambah 1 joker (0 poin).

1. Bagikan semua 21 kartu, dan orang yang

telah dibagikan 5 kartu membuat orang

di sebelahnya mengambil 1 kartunya.

Sisanya, ambillah kartu satu per satu secara

berurutan.

2. Setelah satu ronde, jika anda memutuskan

bisa menang dengan total poin di tangan

anda, hentikan, akhiri permainan, dan

hitung total poin anda.

3. Jika orang yang menghentikan tidak di

tempat pertama, tukar poin dengan orang

di paling terakhir

Setelahnya, aturan harus diubah sesuai

dengan situasi siswa, dan tabel skor harus

dibuat dan dicatat.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Diberikan kalimat matematika yang memuat dua operasi. Dapatkah kamu

menemukan cara menjawabnya?

Mempelajari hitungan yang melibatkan dua operasi penjumlahan dan

pengurangan sekaligus.

Kita dapat mengubah kalimat matematika

yang mengandung penjumlahan dan

pengurangan menjadi penjumlahan saja.

Perhatikan contoh di samping ini.

Pada kalimat matematika penjumlahan (+2)

+ (-5) + (+4), maka bilangan-bilangan yang

dijumlahkan: +2, -5, dan +4 disebut sukusuku dari pernyataan matematika tersebut.

+2 dan +4 adalah suku-suku positif

-5 adalah suku negatif.

K i t a d a p a t m e n u l i s k a n k a l i m a t

m a t e m a t i k a p e n j u m l a h a n t a n p a

menuliskan tanda + dalam kurung. Selain

itu, jika suku pertama positif, maka tanda +

bisa dihapus.

(+2) + (-5) – (-4)

= (+2) + (-5) + (+4)

Suku negatif

Suku-suku positif

(+2) + (-5) + (+4)

(+2) + (-5) + (+4)

= 2 - 5 + 4

1 (+2) + (-5) – (-4) 2 (-6) – (+7) – (-6)

3 Hitungan dengan Dua Operasi: Penjumlahan dan Pengurangan

Ubahlah pernyataan-pernyataan berikut ini menjadi kalimat penjumlahan

saja. Sebutkan suku-suku positif dan negatifnya.

(+4) – (-3)

(-9) + (-4) – (-6)

1

3 4

2 (+7) – (+2)

(-5) – (-3) – (-8)

Tujuan

Soal 1

Bab 1　Bilangan Bulat 31

Bab 1 Bilangan Bulat 31

1,5 jam

Hitungan dengan Dua Operasi:

Penjumlahan dan Pengurangan

3

Tujuan

Memahami arti suku-suku pada operasi

dan dapat menghitung operasi campuran

penjumlahan dan pengurangan menjadi

bentuk operasi jumlah aljabar.

Jawaban

Hitung dengan mengonversi ke rumus tambahan

saja

(1) (+2) + (-5) _ (-4)

= (+2) + (-5) + (+4)

= +1

(2) (-6) – (+7) – (-6)

= (-6) – (+7) + (+6)

= -7

Soal 1

(1) bentuk penjumlahan = (+4) + (+3)

bentuk positif +4, bentuk positif +3

(2) bentuk penjumlahan = (+7) + (-2)

bentuk positif +7, bentuk negatif -2

(3) bentuk penjumlahan = (-9) + (-4) + (+6)

bentuk positif...+6,

bentuk negatif...-9, -4

(4) bentuk penjumlahan = (-5) + (+3) + (+8)

bentuk positif..+3, +8

bentuk negatif...-5

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

1. Penjelasan

Dimungkinkan untuk menghitung operasi

dari depan, tetapi cobalah untuk memanfaatkan

apa yang telah Anda pelajari sejauh ini. Operasi

penjumlahan dan pengurangan campuran

harus dihitung dengan mengubahnya menjadi

rumus dengan hanya penambahan. Saya ingin

membuat para siswa menyadari hal ini, dan

menjadikannya tempat kegiatan untuk saling

menjelaskan dan berkomunikasi.

Selain itu, jika ada siswa yang

memperhatikan bahwa -6 dan +6 dapat

diimbangi dengan memodifikasi (2) menjadi

rumus tambahan saja, itu harus diambil.

2. Istilah ekspresi

Saat menekankan pemahaman suku pada

operasi, penting untuk mengatakan bahwa

tiap suku tersebut dihubungkan dengan

tanda penjumlahan (+). Oleh karena itu, ketika

memberikan pemahaman istilah tersebut,

diberikan penekanan bahwa suatu operasi

dapat diubah menjadi bentuk penjumlahan

saja. Oleh karena itu, pada contoh 2 dan 3 di

halaman berikutnya perlu dibahas dengan hatihati.

3. jumlah aljabar

Di sekolah dasar, “5-3” dianggap sebagai

operasi pengurangan, tetapi ketika angka

negatif dimasukkan, operasi tersebut dapat

diubah menjadi operasi penjumlahan yang

berarti “(+ 5) + (-3)”. Dengan cara ini, jika

semua ekspresi dianggap sebagai bentuk

penjumlahan, mereka disebut jumlah aljabar.

Ubahlah pernyataan berikut ini menjadi pernyataan penjumlahan saja,

kemudian hapus tanda kurung dan sajikan dengan susunan suku-sukunya.

(+10) – (+15)

(-1) + (-4) – (-7)

(+7) – (+3) + (-5) – (-1)

Nyatakan dalam menggunakan tanda + dan kurung.

6 – 8 -4 + 9 – 7

Kita dapat menulis suku-suku yang

b e r t u r u t a n m e n g g u n a k a n s i f a t

komutatif dan asosiatif. Jika hasilnya

positif, maka tanda + dapat dihapus.

Perhatikan contoh berikut ini.

　2 – 4 + 6 – 1

= 2 + 6 – 4 – 1

= 8 – 5

= 3

Saya Bertanya

Apakah tanda “ - \" pada “6 – 8” merupakan tanda pengurangan

atau tanda negatif? Hlm.33

1

3

5

(-7) – (-9)

4 (+6) – (-8) – (+16)

2

1 2 -14 – 13 3 4 7 – 8 + 6 – 2

6 (-2) + (+9) – (+1) – (-4)

　(+2) + (-4) + (+6) + (-1)

=(+2) + (+6) + (-4) + (-1)

=(+8) + (-5)

=+3

Hitunglah 7 + (-8) – 5 – (-4)

Untuk menyelesaikan pernyataan matematis yang menggunakan tanda kurung,

penjumlahan, dan pengurangan, maka pertama-tama susunlah suku-sukunya.

Selesaikan Soal 2 dan Soal 3.

7 + (-8) – 5 – (-4)

= 7 – 8 – 5 + 4

= 7 + 4 – 8 – 5

= 1 1 – 13

= -2　　　Jawab :　-2

Pastikan untuk

menjelaskan

bagaimana

caranya

memperoleh

jawaban.

Cara

Penyelesaian

7 + (-8) – 5 – (-4)

= 7 + (-8) + (-5) + (+4)

= 7 – 8 – 5 + 4

Contoh 1

Soal 2

Soal 3

Soal 4

32 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

32 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Soal 2

(1) (+10) + (-15)

= 10 - 15

(2) (-7) + (+9)

= -7 + 9

(3) (-1) + (-4) + (+7)

= -7 - 4 + 7

(4) (+6) + (+8) + (-16)

= 6 + 8 - 16

(5) (+7) + (-3) + (-5) + (+1)

= 7 - 3 - 5 + 1

(6) (-2) + (+9) + (-1) + (+4)

= -2 + 9 -1 + 4

Soal 3

(1) (+6) + (-8)

(2) (-14) + (-13)

(3) (-4) + (+9) + (-7)

(4) (+7) + (-8) + (+6) + (-2)

Soal 4

hasil Soal 2

(1) -5 (3) 3 (5) 0

(2) 2 (4) -2 (6) 10

hasil Soal 3

(1) -2 (3) -2

(2) -27 (4) 3

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

4. Rancangan dalam menghitung jumlah

aljabar

Pada operasi penjumlahan yang ditulis

dalam bentuk (+2) + (-4) + (+ 6) + (-1), suku-suku

tersebut mudah dipahami karena dibedakan

antara tanda positif dan negatif dengan

simbol operasi aritmetikanya. Sebaliknya, pada

penjumlahan aljabar 2 - 4 + 6 - 1, ada sebagian

yang mengacaukan tanda positif dan negatif

dengan simbol aritmatika.

Oleh karena itu, pada awalnya, dianjurkan

untuk mengajarkan mereka berpikir dengan

memisahkan suku-suku dengan /, seperti 2 /

-4 / + 6 / -1. Selain itu, saat menghitung jumlah

aljabar, instruksikan mereka untuk membaca +

sebagai “plus” dan sebagai “minus”.

5. Penyelesian Soal 4

Hitung operasi yang dikonversi ke dalam

bentuk jumlah aljabar. Saat ini, kita memahami

perhitungan dua angka seperti 10-15, -7 + 9, dan

-14-13.

6. Penyelesian Contoh 1

Ekspresi dengan campuran penjumlahan

dan pengurangan, seperti pada Contoh 4 , pahami

bahwa itu dapat dihitung secara efisien dengan

mengubahnya menjadi bentuk penjumlahan

aljabar. Dalam jawabannya, baris kedua

langsung mengoreksi jumlah aljabar. Apabila

terbiasa dengan penghitungannya, Anda harus

menginstruksikan pengurangan tersebut menjadi

penjumlahan dan kemudian jumlah aljabar,

seperti yang ditunjukkan pada balon di sebelah

kanan.

Selain itu, pahami bahwa dengan

menghitung simbol yang sama terlebih

dahulu, dapat menghitung secara efisien dan

mengurangi kesalahan.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Hitunglah.

-3 + (-2) – (-9) 8 – (+7) – 5

-2 – (-3) + 7 + (-4) 3 + (-8) – (-5) – 1

Hitunglah.

11 – 17 + 13

-3,1 – 5,9

-14 + 19 + 12 – 20

-0,6 – (-1)

5 6

1 2

3 4

1 2

3 4

Cobalah

Hlm.35

Pengayaan 1-3

Soal 6

Soal 5

Apakah kita dapat melakukan perkalian

dan pembagian bilangan-bilangan

positif dan negatif dengan cara yang

sama?

Sekarang kita dapat menyelesaikan soal

dengan mengubah penjumlahan dan

pengurangan bilangan-bilangan positif

dan negatif dengan susunan suku-suku. Hlm.36, 43

Makna dan cara menghitung “6 – 8”

Jadi, kita dapat memandang

tanda “_“ dalam ”6 – 8”

sebagai tanda pengurangan

juga sebagai tanda negatif.

Di Sekolah Dasar kita belum belajar bilangan lebih kecil dikurangi bilangan yang

lebih besar. Sebagai contoh, “6 – 8”. Dengan menggunakan bilangan-bilangan

negatif, 0, dan positif, maka kita dapat melakukan pengurangan tersebut.

Kita dapat memandang “6 – 8” sebagai “6 minus 8”. Berdasarkan penjelasan pada

halaman 31, kita juga dapat melihatnya sebagai susunan suku-suku atau “6 plus

-8”.

6 – 8

= 6 – ( + 8)

= 6 + ( - 8)

= 6 - 8

Susun suku-sukunya

Ubah kalimat pengurangan

menjadi menjadi penjumlahan

Tambahkan tanda positif + pada 8

Cermati

Pengurangan

minus

（ ) 1 –（ ） 6 （ ）3

4 （- ) 2 +（ ）– （ ） 7 （ ）6

7 （ ）3

7

Bab 1　Bilangan Bulat 33

Bab 1 Bilangan Bulat 33

Jawaban

Soal 5

(1) 4 (3) 4

(2) -4 (4) -1

Soal 6

(1) 7 (4) 0.4

(2) -3 (5) - 7

12

(3) -9 (6) 1

7

7. Penyelesaian Soal 5 dan Soal 6

Ada kecenderungan banyak kesalahan

terjadi dalam penghitungan jumlah aljabar. Jadi

perhatikan panduan ini dengan cermat ketika

memeriksa operasi di tengah.

Misalnya, di Soal 5 (3), disarankan untuk

menggarisbawahi bagian-bagian yang perlu

ditata ulang menjadi bentuk berjajar, seperti

-2- (-3) + 7 + (-4). Instruksikan mereka untuk

membaca + sebagai “plus” dan sebagai “minus”.

8. Keterangan pada balon teks

Ditemukan bahwa penjumlahan dan

pengurangan bilangan positif dan negatif

akhirnya dihitung dalam bentuk penjumlahan

aljabar. Kemudian disarankan untuk membuat

prediksi dan konfirmasi tentang cara menghitung perkalian (perkalian) dan pembagian

(pembagian) bilangan positif dan negatif

sehingga akan mengarah pada pembelajaran

di halaman 36 dan selanjutnya.

9. Cermati

Pada rumus (+6) + (-8), tanda positif +

dan simbol aritmatika + memiliki arti yang

berbeda. Oleh karena itu, operasi ini biasanya

dibaca sebagai “plus 6 plus minus 8”. Ini akan

lebih mudah dipahami jika tanda ditulis lebih

kecil dari simbol aritmatika dan ditulis sebagai

(

+ 6) + (- 8), seperti yang digunakan di beberapa

negara.

Tidaklah diinginkan untuk secara tidak

sadar membaca “6-8” sebagai “6 dikurangi

8” atau “6 dikurangi 8”. Akan tetapi, untuk

mempelajari penjumlahan aljabar, ambil salah

satu dari dua pembacaan tersebut.

“6-8” dapat dibaca sebagai “6 dikurangi

8” jika dianggap sebagai perpanjangan dari

metode pengurangan ke sekolah dasar. Di sisi

lain, dalam studi tentang penjumlahan aljabar

(halaman 31-33), dipelajari bahwa rumus

penjumlahan “(+ 6) + (-8)” dapat ditulis sebagai

“6 -8” hanya dengan menyusun suku-suku.

Artinya, “6-8” dapat dibaca sebagai “6 dikurangi

8” dengan menganggapnya sebagai ekspresi

penjumlahan. Oleh karena itu, pada tahap ini,

“6-8” dapat dibaca sebagai “6 dikurangi 8” atau

“6 minus 8”.

1 Hitunglah.

(+3) + (-2) (-4) + (-6)

(-14) + (+5) (-8) + (+8)

2 Hitunglah.

(+2) – (+9) (+1) – (-5)

(-6) – (-17) 0 – (-12)

3 Hitunglah.

(+5) + (-18) + (-5) (-9) – (-8) + (-4)

2 – 7 -4 – 5

-2 + 10 – 5 3 – 7 – 4 + 8

16 – (+17) – 13 (-3) + 6 + (-7) – (-9)

Penjumlahan

［Hlm.23］

Pengurangan

［Hlm.28］

［Hlm.29］ S 5

Hitungan dengan

Penjumlahan dan

Pengurangan

［Hlm .32］

1 2

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

5 6

7 8

Cth.3

Cth.4

Cth.3

Cth.1

Mari Kita Periksa 2 Penjumlahan dan pengurangan

S 4

Apakah Sifat Komutatif dan Asosiatif Berlaku pada

Pengurangan?

Pada halaman 25, kita telah mempelajari bahwa dalam penjumlahan bilangan

positif dan negatif berlaku

Sifat Komutatif a + b = b + a

Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c)

Apakah sifat-sifat tersebut berlaku juga dalam pengurangan? Marilah kita

bandingkan berikut ini.

Pada 1 dan 2 hasil pada a dan b berbeda. Dapat kita lihat bahwa sifat komutatif

tidak berlaku karena hasil pengurangan pada 1 a dan b berbeda. Demikian

juga, hasil pengurangan pada 2 a dan b berbeda. Jadi, sifat asosiatif tidak

berlaku. Namun, apabila kita mengubah pengurangan menjadi kalimat matematika

penjumlahan, maka sifat komutatif dan asosiatif keduanya berlaku.

b (+3) – (+2)

b (+2) – {(+3) – (+5)}

1 a (+2) – (+3)

2 a {(+2) – (+3)} – (+5)

S 6

Cermati

34 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

34 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Mari Kita Periksa

0.5 jam

Jawaban

1

(1) +1 (3) -9

(2) -10 (4) 0

2

(1) -7 (3) +11

(2) +6 (4) +12

3

(1) -18 (3) -5 (5) 3 (7) -14

(2) -5 (4) -9 (6) 0 (8) 5

Pertanyaan Serupa

Kerjakan perhitungan berikut

(1) 0,7 – 1,9 (3) -

1

3

5

6

+

(2) -2,6 - 3,7 (4) - -

3

8

1

6

(1) -12 (3) -

1

2

(2) -6.3 (4) -

13

24

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

10. Rancangan dalam menghitung jumlah

aljabar

Apakah sifat komutatif/sifat asosiatif berlaku

sama dengan metode reduksi 10? Mengenai (1)

dan (2), terlihat bahwa jawaban masing-masing

berbeda sebagai berikut.

(1) (+2) - (+3) = -1

(+3) - (+2) = 1

(2) {(+2) - (+3)} - (+5) = -6

(+2) - {(+3) - (+5)} = +4

Inilah materi untuk mempertimbangkan

apakah hukum pertukaran dan hukum kombinasi

berlaku, bahkan dalam metode reduksi mengikuti

metode penjumlahan. Tentu saja, konten di sini

banyak berkaitan dengan close-up “Perhitungan

dan arti ”6-8“ di halaman sebelumnya. Bagi

siswa yang memahami bahwa 8-6 dan 6-8 adalah

jawaban yang berbeda, mereka secara intuitif

akan merasa bahwa sifat komutatif tidak berlaku.

Mari melangkah lebih jauh dan memperhatikan bahwa hasil perhitungan (1) adalah dua

angka dengan nilai mutlak yang sama dan tanda

yang berbeda. Kemudian, konfirmasikan bahwa

hal yang sama berlaku untuk persamaan berikut di

mana angka negatif dikurangi dari angka negatif.

-2- (-3) dan -3- (-2) Selain itu, dalam hukum koneksi

seperti (2), perbedaan antara kedua persamaan

dapat diperoleh dengan mengasumsikan situasi

aktual menggunakan benda konkret.

Namun selisih hasil perhitungan kedua rumus

tersebut merupakan selisih antara penjumlahan

(+5) pada suku terakhir dengan menguranginya,

dan itulah alasan mengapa selisih hasil

perhitungan kedua rumus tersebut adalah 10. Jika

pembahasan dapat dikembangkan sampai batas

tertentu, pemahaman tentang metode reduksi

akan semakin diperdalam.

BAB 1 │Bilangan Bulat

(+11) + (+4)

(-6) + (-12)

(+8) + (-1)

(+3) + (-10)

(+16) + (-16)

(-7) + (+2)

(-9) + (+13)

(+0,6) + (-1,8)

(-2,7) + (-3,5)

Penjumlahan

Pengurangan

1

2

Hitungan dengan Penjumlahan dan 3 Pengurangan

(+8) – (+4)

(+3) – (+9)

(+5) – (-2)

0 – (-13)

(-7) – (+2)

(-9) – (-1)

(-2) – (-15)

(-1,9) – (+1,4)

(-3) + (+2) – (+5)

(+6) – (-7) + (-13)

(-6) – (+1) + (-3) – (-8)

3 – 8

-6 + 9

-7 – 4

-18 + 18

5 – 19

-2 + 6 – 8

7 – 9 – 5

4 – 7 + 10 – 1

-12 + 4 – 3 + 7

0,4 – 1,9

-1,3 + 2,7

-2 + (-10) – 6

13 + (-2) – 5 – (-7)

-7 – (+8) – (-3) + 9

1 + (-0,6) – 0,8

9

　（- ）+（+ ）

3 5 　（- 4

）+（- 12 ）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

10

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

Penjumlahan dan

Pengurangan

Mari kita terapkan pengetahuan kita

untuk belajar secara mandiri dan

berlatih.

Pengayaan 1

Jawaban di hlm..285

（- ）2 –（+ ） 7

5

14

（+ ）–（- ） 1

6

1

2

（- ）2 –（ ） 5

3

5

（ ）4 –（ ） 9

5

6

（- ）1 +（ ）– （- ） 3

1

6

2

3

1

3

1

2

Bab 1　Bilangan Bulat 35

Bab 1 Bilangan Bulat 35

Pengayaan 1

Jawaban

1

(1) +15 (7) +4

(2) -18 (8) -1,2

(3) +7 (9) -6,2

(4) -7 (10) + 1

6

(5) 0 (11) -

7

6

(6) -5

2

(1) +4 (6) -8

(2) -6 (7) +13

(3) +7 (8) -3,3

(4) +13 (9) +

2

3

(5) -9 (10) - 9

14

3

(1) Persamaan = -3 + 2 - 5

= -6

(2) Persamaan = 6 + 7 - 13

= 0

(3) Persamaan = -6 - 1 - 3 + 8

= -2

(4) -5

(5) 3

(6) -11

(7) 0

(8) -14

(9) -4

(10) -7

(11) 6

(12) -4

(13) -1,5

(14) 1,4

(15) -1

(16) Persamaan = 8

18

15

8

-

= - 7

18

(17) Persamaan = -2 - 10 - 6

= -18

(18) Persamaan = 13 - 2 - 5 + 7

= 13

(19) Persamaan = -7 - 8 + 3 + 9

= -3

(20) Persamaan = 1 – 0,6 - 0,8

= -0,4

(21) Persamaan = -

2

6

1

6

4

6

+ +

= 1

2

36 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Mempelajari mengalikan bilangan-bilangan positif dan negatif dengan cara

perpindahan ke timur dan barat.

Berdasarkan , di titik-titik manakah Munir 5 menit sesudahnya dan 10

menit sebelumnya? Nyatakanlah lokasinya dengan kalimat matematika.

1

2 Nyatakanlah lokasi Munir pada saat-saat yang ditentukan dengan

mengisi ( ) dan dengan angka yang tepat.

+70 m per menit

Barat Timur

-210 -140 -70 0 +70 +140 +210 (m)

Sebelum (-) Sekarang (0) Sesudah (+)

1 Perkalian

3 Perkalian dan Pembagian

Waktu

2 menit sesudahnya

1 menit sesudahnya

Sekarang

1 menit sebelumnya

2 menit sebelumnya

(+2) (+140) (+70) × (+2)=+140

(+1 ) (　　 ) ( ) × ( )=

( 0 ) (　　 ) ( ) × ( )=

( -1 ) (　　 ) ( ) × ( )=

( -2 ) (　　 ) ( ) × ( )=

Lokasi (Kecepatan) × (waktu) (lokasi)

140 m Timur

70 m Timur

0 m

70 m Barat

140 m Barat

Munir berjalan ke arah timur dengan kecepatan 70 m per menit. Titik awal

ditetapkan sebagai 0 m. Arah ke timur sebagai arah positif. Melewati satu

menit dihitung sebagai +1 menit.

Di titik manakah Munir setelah berjalan satu menit? Setelah dua menit?

Di titik manakah dia semenit sebelumnya? Dua menit sebelumnya?

Tandai (dengan anak panah) lokasi Munir menggunakan diagram berikut

ini.

Tujuan

Soal 1

36 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

10 jam

3 Perkalian dan Pembagian

4 jam

1 Perkalian

Tujuan

1. Siswa dapat memahami arti perkalian

bilangan positif dan negatif secara nyata.

2. Pahami aturan untuk mengalikan bilangan

positif dan negatif dan dapat menghitung

hasil perkalian berdasarkan aturan tersebut.

3. Pahami bahwa sifat komutatif dan asosiatif

perkalian berlaku untuk bilangan positif

dan negatif. Pahami bahwa hukum

koneksi menjadi pegangan dan dapat

menggunakannya.

4. Memahami arti dari pangkat serta mampu

mengekspresikan rumus perkalian dalam

bentuk pangkat dan menghitung pangkat.

Jawaban

(1)

Barat Timur

-140 -70 0 +70 +140 (m)

2 menit

sebelumnya

1 menit

sebelumnya

1 menit

setelahnya

2 menit

setelahnya

+70 m per menit

(2) Dari keterangan di atas, diperoleh bahwa

Titik jarak +70, 0 , -70, -140

Rumus/persamaan (+70) × (+1) = +70

(+70) × 0 = 0

(+70) × (-1) = -70

(+70) × (-2) = –140

Soal 1

5 menit setelahnya (+70) × (+5) = +350

350 m ke timur

10 menit sebelumnya (+70) × (-10) = -700

700 m ke barat

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

1. Penjelasan

Selain bilangan positif dan negatif,

permainan kartu digunakan untuk memberi

makna pada operasi. Akan tetapi dalam perkalian,

bilangan positif dan negatif diterapkan pada

hubungan kuantitatif yang perkaliannya sudah

ditetapkan dan perhitungannya didasarkan pada

kenyataannya.

Pertama, kuantitas tertentu diekspresikan

dengan menerapkan tanda positif dan negatif ke

arah (timur dan barat) dan waktu (sebelum dan

sesudah). Kemudian, terapkan besaran ini pada

hubungan (1) (kecepatan) × (waktu) = (jarak)

untuk merumuskan rumusnya. Di sini, perhatikan

kasus di mana perkaliannya positif (saat berjalan

ke timur). Di halaman selanjutnya kita akan

sajikan saat kasus di mana perkaliannya negatif

(saat berjalan ke barat).

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 37

Berdasarkan , di titik-titik manakah Toni 5 menit sesudahnya dan 10 menit

sebelumnya? Nyatakanlah lokasinya dengan kalimat matematika.

1

2 Nyatakanlah lokasi Toni pada saat-saat yang ditentukan dengan mengisi

( ) dan dengan angka yang tepat.

-70 m per menit

Operasi mengalikan bilangan positif dan negatif juga disebut perkalian.

Pada contoh di di halaman sebelumnya dan di atas, bagaimanakah

perubahan hasil kali dengan mengubah besaran waktu? Bandingkan dan

diskusikan perbedaannya.

Barat Timur

-210 -140 -70 0 +70 +140 +210 (m)

Sesudah (+) Sekarang (0) Sebelum (-)

Diskusi

Toni berjalan ke arah barat dengan kecepatan 70 m per menit. Posisi Toni

sekarang ditetapkan sebagai titik 0, ke arah ke timur sebagai arah positif, ke

barat negatif, melalui selama satu menit sebagai +1 menit.

Di titik manakah Toni setelah 1 menit? Setelah 2 menit? Pada titik mana

Toni semenit sebelumnya? Dua menit sebelumnya? Tandai lokasinya

(dengan anak panah) pada diagram di bawah ini.

Waktu

2 menit sesudahnya

1 menit sesudahnya

Sekarang

1 menit sebelumnya

2 menit sebelumnya

(+2) (+140) (+70) × (+2)=+140

(+1) (　　 ) ( ) × ( )=

( 0) (　　 ) ( ) × ( )=

(-1) (　　 ) ( ) × ( )=

(-2) (　　 ) ( ) × ( )=

Lokasi (Kecepatan) × (waktu) (lokasi)

140 m Barat

70 m Barat

0 m

70 m Timur

140 m Timur

Soal 2

Soal 3

Bab 1 Bilangan Bulat 37

Jawaban

(1)

-70 m per menit

Barat Timur

-140 -70 0 +70 +140 (m)

2 menit

setelahnya

1 menit

setelahnya

1 menit

sebelumnya

2 menit

sebelumnya

(2) Dari gambar di atas, diperoleh bahwa

Jarak -70, 0 , +70, +140

Persamaan (-70) × (+1) = -70

(-70) × 0 = 0

(-70) × (-1) = +70

(-70) × (-2) = +140

Soal 2

5 menit kemudian (+70) × (+5) = -350

350 m ke barat

10 menit sebelumnya (-70) × (-10) = +700

700 m ke timur

Soal 3

Siswa harus mengetahui karakteristik berikut

dan mendiskusikannya.

(Dalam kasus Q pada halaman 36)

*Hasil bertambah sebesar 70. Pengali berubah

dari negatif ke positif pada batas 0.

(Dalam kasus Q di halaman 37) Hasil

berkurang 70. * pengali berubah dari positif ke

negatif pada batas 0.

2. Penjelasan

Perhatikan kasus di mana perkaliannya

negatif. Mengenai kenyataan kecepatan ke arah

barat sebagai -70 m, akan lebih baik jika anak

diajak untuk mengingat soal 4 pada halaman 15

(menyatakan kecepatan penarik sebagai + dan

kecepatan angin haluan sebagai -). Siswa lebih

cenderung memiliki pertanyaan ketika

(-) × (-) → +

Membingungkan untuk memahami dalam

bentuk gambar bahwa “plus → kenaikan” dan

“minus → penurunan”. Sekali lagi, dasar rumusnya

adalah hubungan (kecepatan) × (waktu) = (jarak),

dan pastikan bahwa tanda positif dan negatif

mewakili arah timur-barat juga waktu sebelum (-)

dan sesudah (+).

7. Penyelesaian Soal 3

Bandingkan kedua Q, perhatikan

perubahan hasil perkalian dan tandai ketika

pengali (bilangan pengali) bertambah 1,

dan perhatikan aturan perhitungan untuk

bilangan positif dan negatif. Secara khusus,

dapat melihat dua tabel Q dan berpikir secara

induktif dari perubahan hasil perkalian saat

pengali bertambah 1, sehingga siswa sendiri

dapat menemukan aturan penghitungan untuk

metode perkalian.

(-70) × (+2) = -140

(-70) × (+1) = - 70

(-70) × 0 = 0

(-70) × (-1) = + 70

(-70) × (-2) = +140

-70

-70

-70

-70

38 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Dalam mengalikan bilangan positif dan negatif,

bagaimana hubungan antara nilai mutlak hasil

kali dengan nilai mutlak bilangan-bilangan yang

dikalikan? Diskusikan pada di halaman 36 dan

pada halaman sebelumnya.

Perkalian bilangan positif dengan negatif dapat dirangkum sebagai berikut.

Hasil kali dua bilangan bertanda sama.

Hasil kali dua bilangan berbeda tanda.

Perkalian dengan Menggunakan Tanda Positif, Negatif, dan Nilai Mutlak

1 2

1 2

Hitunglah.

(+6) × (+5) (-7) × (-8)

(+12) × (-3) (-2) × (+10)

1 2

3 4

Tanda hasil kali pada

(-70) x (+2) = -140 adalah

(-) x (+) → (-).

Perkalian Bilangan Positif dan Negatif

1

2

｛

Tanda: positif

Nilai mutlak: hasil kali nilai-nilai mutlak

dua bilangan yang dikalikan

｛

Tanda: negatif

Nilai mutlak: hasil kali nilai mutlak dua

bilangan yang dikalikan

Hasil kali bilangan

dengan tanda

sama

Hasil kali bilangan

dengan tanda

berbeda

Diskusi

PENTING

(+2) × (+3)

= +(2 × 3)

= +6

(+) × (+) → (+)

　(-6) × (-2)

= +(6 × 2)

= +12

(-) × (-) → (+)

　(+9) × (-3)

= -(9 × 3)

= -27

(+) × (-) → (-)

　(-4) × (+5)

= -(4 × 5)

=-20

(-) × (+) → (-)

Soal 4

Contoh 2

Contoh 1

38 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Anda harus dapat menjelaskan karakteristik

berikut dengan cara Anda sendiri dan siswa

dapat menemukannya dalam kerja sama.

1. Perkalian dua bilangan bertanda sama

menghasilkan bilangan positif

2. Perkalian dua bilangan dengan tanda yang

berbeda menghasilkan bilangan negatif

Soal 4

(1) +30 (3) -36

(2) +56 (4) -20

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

4. Penjelasan

Dari kedua Q (pembelajaran pada halaman

36-37), kita perhatikan bagaimana menentukan

tanda dan nilai mutlak dari hasil perkalian dari

tanda dan nilai mutlak kedua bilangan yang akan

dikalikan. Pertanyaan 3 di halaman sebelumnya

menganggap perubahan pengali dan hasil

perkalian antara siswa sebagai langkah awal,

tetapi di sini sekali lagi, anda akan menemukan

bahwa

(+) × (-) = (-)

(-) × (-) = (+).

Sekali lagi, saya ingin menemukan keteraturan

itu dengan berpikir secara rekursif.

5. Penjelasan Contoh 1 dan Contoh 2

Setelah mempelajari bagian Q, cari hasil

perkalian bilangan positif dan negatif dengan

memperhatikan tanda dan nilai mutlak dari

kedua bilangan yang akan dikalikan. Contoh 1

berkaitan dengan hasil kali dua angka dengan

tanda yang sama, dan Contoh 2 berkaitan dengan

hasil kali dua angka dengan tanda yang

berbeda.

6. Ringkasan materi perkalian

Menggunakan apa yang diringkas di

, penghitungan sebenarnya dilakukan

di Contoh 2 . Di sini, kita akan merangkum

“perkalian bilangan positif dan negatif” dengan

memusatkan perhatian pada tanda dan nilai

mutlak. Untuk kasus khusus di mana salah

satu angkanya adalah 0, +1 atau -1, periksa

di halaman berikutnya. Yang ingin saya

tekankan di sini adalah perbedaan dari tanda

“penjumlahan bilangan positif dan negatif”.

Dalam penjumlahan yang dipelajari sejauh ini,

perhatikan kasus berikut

(+) + (-),

kita mengetahui bahwa tanda ditentukan oleh

besarnya nilai mutlak kedua bilangan tersebut.

Mengenai metode perkalian, saya ingin

menekankan bahwa hubungan

(+) × (-) = (-)

berlaku dan kode hasil perhitungan ditentukan

oleh kode dua angka sebagai kebalikan dari

metode penjumlahan.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 39

Tentukan hasil kali +14 dengan +1. Kalikan -6 dengan +1. Tentukan hasil +14

dengan -1, dan -6 dengan -1.

Berapapun bilangannya, jika dikalikan dengan 1 hasilnya sama dengan bilangan

tersebut. Hasil kali -1 dengan bilangan menghasilkan negatif bilangan tersebut.

Berapa hasilnya -8 dikalikan 0, dan jika 0

dikalikan +2?

Berapapun bilangannya, jika dikalikan 0 hasilnya 0.

Contohnya, (8) × 0 = 0

0 × (-2) = 0.

Di SD kita telah belajar

bahwa bilangan

dikalikan 0 hasilnya 0.

　(+2,1) × (-0,8)

= -(2,1 × 0,8)

= -1,68

1 　(+2,1) 2

(+0,5) × (-2)

3

1 (-3,6) × (-1,4)

4

2

Hitunglah.

Hitunglah.

(+4) × (+2)

(+3) × (-10)

1

4

(-4) × (-8)

(-18) × (-3)

2

5

(-7) × (+9)

0 × (-5)

3

6

7 (-4,8) × (+1,3) 8 9

Soal 5

Soal 6

Contoh 3

Soal 7

Soal 8

（- ）3 ×（- ） 4 （- ）2

7

= +（ ）3 ×（ ） 4 （ ）2

7

= + 3

14

（- ）2 ×（- 9） 3 （- ）4 ×（+ ） 7 （+ ）7

8

（+ ）×（- ） 2

3 （- ）9

2 （-2,5）×（- ）4

3

Bab 1 Bilangan Bulat 39

Jawaban

Soal 5

(+14) × (+1) = +14 (+14) × (-1) = -14

(+6) × (+1) = -6 (-6) × (-1) = +6

Soal 6

(-8) × 0 = 0

0 × (+2) = 0

Soal 7

(1) -1 (3) +6

(2) +5.04 (4) -

1

2

Soal 8

(1) +8 (4) -30 (7) -6.24

(2) +32 (5) +54 (8) -3

(3) -63 (6) 0 (9) +

10

3

Pertanyaan Serupa

Kerjakan soal berikut

(1) (+9) × (+4) (2) (+6) × (-7)

(3) (-5) × (+10) (5) 

 



   2

5  -15

(4) (-13) × (-2) (6) - -

3

4

7

12



 



 

(1) +36 (4) +26

(2) -42 (5) -6

(3) -50 (6) +

7

16

7. Penyelesaian Soal 5

Di sini, kami menunjukkan kasus-kasus

di mana bilangan positif dan negatif dikalikan

dengan +1 dan kasus di mana bilangan tersebut

dikalikan dengan -1. Hasilnya dirangkum dalam

Soal 5.

Karena

a × (+1) = a dan (+1) × a = a,

+1 adalah elemen unit perkalian. Selain

itu, gagasan bahwa tanda berubah ketika

bilangan positif atau negatif dikalikan dengan

-1 juga digunakan dalam persamaan linier dan

perkalian bilangan (Contoh 5 dari pelajaran

halaman 79).

8. Penyelesaian Soal 6

Pertimbangkan kasus di mana bilangan

positif dan negatif dikalikan dengan 0 dan kasus

di mana 0 dikalikan dengan bilangan positif

dan negatif. Kita telah mempelajari tentang

bilangan positif dengan 0 di sekolah dasar, dan

memastikan bahwa meskipun kita memperluas

bilangan tersebut menjadi bilangan negatif,

perkalian dari 0 akan selalu menjadi 0.

9. Penyelesaian Contoh 2

Dalam perkalian bilangan positif dan

negatif, tanda hasil perkalian secara alami

ditentukan oleh tanda dua bilangan tersebut.

Namun yang mengejutkan banyak siswa yang

melakukan kesalahan dalam hal hasil kali nilai

absolut daripada melakukan kesalahan pada

tanda hasil perhitungan. Oleh karena itu,

dengan menggunakan Contoh 3, hasil perkalian

pecahan dan pecahan dikonfirmasi. Tampaknya

beberapa siswa kurang pandai sejak sekolah

dasar, sehingga perlu diperlakukan dengan

hati-hati.

40 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Sifat-sifat berikut ini berlaku pada perkalian bilangan positif dan negatif.

Sifat komutatif perkalian

a × b = b × a

Sifat asosiatif perkalian

(a × b) × c = a × (b × c)

Ketika mengalikan bilangan positif dan negatif, maka urutan bilangan dapat

disusun ulang dengan urutan berbeda-beda menggunakan sifat komutatif dan

asosiatif.

Pada halaman 25 kita

telah mempelajari

tentang sifat

komutatif dan asosiatif

penjumlahan.

Hitunglah.

(-50) × (+17) × (-2)

3 　（- ) × (+3,6) × (-8)

1 (+9) × (-4,5) × (+2)

4 　（+ ）× (-10) × (- ）

2

Hitunglah, kemudian bandingkan hasilnya

antara a dan b .

(+4) × (-3)

(-3) × (+4)

{(+2) × (-4)} × (-5)

(+2) × {(-4) × (-5)}

1

2

Sifat Komutatif dan Asosiatif Perkalian

Menukar urutan dua bilangan yang

dikalikan tidak mengubah hasilnya.

　　□ × △ = △ × □

Mengubah urutan pengalian tiga

bilangan tidak mengubah hasilnya.

　　　 ( □ × △ ) × ◯

　　 = □ × ( △×◯ )

Ulasan

a

b

a

b

Yuli menghitung sebagai berikut.

(-4) × (+9) × (-25) seperti ditunjukkan

hitungan ke samping. Jelaskan

proses di balik hitungan 1 dan 2 .

(-4) × (+9) × (-25)

= (+9) × (-4) × (-25)

= (+9) × (+100)

= +900

①

②

Diskusi

Kelas VI - 1 Hlm. 95

Soal 9

Soal 10

　（- ) 1

8 　（+ ）1

3 (- ）3

5

40 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

1) A, B sama-sama menghasilkan -12

2) A, B sama-sama menghasilkan +40

Soal 9

1) Tukar -4 dan +9 menggunakan hukum

Komutatif perkalian

2) kerjakan (-4) × (-25) terlebih dahulu menggunakan hukum Asosiatif perkalian

Soal 10

(1) Persamaan = (-50) × (-2) × (+17)

= (+100) × (+17)

= +1700

(2) Persamaan = (+9) × {(-4.5) × (+2)}

= (+9) × (-9)

= -81

(3) Persamaan = - -

1

8

8 3 6 



       .

= (+1) × (+3.6)

= +3.6

(4) Persamaan = + - - 1

3

10 3

5



   



 









  

= +

1

3

6 



  

= +2

Pertanyaan Serupa

Pikirkan cara mudah untuk menghitung,

kemudian kerjakan soal berikut

(1) (-9) × (-125) × (-8)

(2) + - - 2

3

7 3

2



   



  

(3) - +14 + -18 2

7

5

6



   



    

(Contoh)

(1) Persamaan = (-9) × {(-125) × (-8)

= (-9) × (+1000) = -9000

(2) Persamaan = + - -7 2

3

2

3



 



   

= (-1) × (-7) = +7

(3) Persamaan

= - + + + 2

7

14 5

6

18 



   













   









   

= (-4) × (-15) = +60

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

10. Penjelasan

Di kelas 4 Sekolah Dasar, telah dipelajari

bahwa sifat komutatif dan sifat asosiatif perkalian

dalam kisaran bilangan positif dan 0 berlaku. Di

sini, kami menunjukkan bahwa sifat ini berlaku

untuk bilangan negatif.

11. Penjelasan Soal 9

Membaca prosedur penghitungan dan

mampu menjelaskannya menggunakan istilah

“sifat komutatif” dan “sifat asosiatif”.

12. Penjelasan Soal 10

Oleh karena berbagai metode penghitungan

dapat dipertimbangkan untuk digunakan,

mari melanjutkan sambil membandingkan dan

memeriksanya dengan menuliskannya di papan

tulis.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 41

Hitunglah, amati, kemudian diskusikan bagaimana tanda dari hasil kalinya.

Hitunglah.

Perkalian beberapa bilangan dapat dirangkum sebagai berikut.

(+5) × (-2)

(+5) × (-2) × (-3)

(+5) × (-2) × (-3) × (-1)

Apa yang terjadi

jika kita mengalikan

empat atau lima

bilangan?

　(-3) × (+2) × (-4)

= +(3 × 2 × 4)

= +24

(-5) × (-6) × (+2)

Tanda Hasil Kali Beberapa Bilangan

2

2

　(-16) × (- ) × (-3)

= -16 × × 3

= - 40

1 　(-3)

1

1

2

3

Hitunglah.

1 4 × (-2) × 6

8 × (-3) × × (- ）

3 (-3,5) × (-2) × 9

5

4

-5 × 2 × (-7)

6

2

　- × 6 × (-4) × (-9)

(-5) × (-5) × (-5)

Tanda dan Nilai Mutlak Hasil Kali

Ketika bilangan negatif muncul sebanyak genap kali, maka

tanda hasil kalinya adalah +.

Ketika bilangan negatif muncul sebanyak ganjil kali, maka tanda

hasil kalinya -.

Nilai mutlak hasil kali sama dengan hasil perkalian nilai-nilai

mutlak bilangan-bilangan yang dikalikan.

1

2

Diskusi

PENTING

Contoh 4

Soal 11

Soal 12

Berapa kalipun bilangan dikalikan dengan bilangan positif, maka tanda hasil

kalinya tidak berubah. Namun, setiap kali kita mengalikan dengan bilangan

negatif, maka tanda dari hasil kalinya berubah. Dengan perkataan lain, tanda

dari hasil kalinya ditentukan oleh berapa kali dikalikan dengan bilangan negatif.

(-7) × (- ) × (- )

Dalam melakukan perkalian, maka tanda positif + dalam kalimat

matematika dan pada hasil kalinya dapat dihapus. Tanda kurung pada

bilangan pertama juga dapat dihapus.

(- ) 5

6

5

6

(- ) 3

14 (- ) 3

4

1

6

1

4

1

3

Bab 1 Bilangan Bulat 41

Jawaban

(1) -10 (3) -30

(2) +30

Anda harus dapat menjelaskan karakteristik

berikut dengan cara Anda sendiri agar siswa

dapat menemukannya dalam kerja sama. Tanda

hasil perkalian berubah seiring bertambahnya

jumlah bilangan negatif. Jika hanya ada

1 bilangan negatif maka tandanya “-”, jika

terdapat 2 bilangan negatif tandanya jadi “+”,

jika terdapat 3 bilangan negatif tandanya jadi “-”

begitu seterusnya.

Soal 11

(1) +60 (2) -2

Soal 12

(1) -48 (4) -72

(2) 70 (5) 1

(3) 63 (6) -125

Pertanyaan Serupa

Kerjakan soal berikut

(1) (-4) × (-5) × (-2)

(2) 3 × (-10) × 0 × (-2)

(3) -0,2 × 5 × (-8)

(4) - - 14 - - 3

10

5

6   1 

 



 

 



    

(1) -40 (3) 8

(2) 0 (4)

7

2

13. Penjelasan

Perhatikan persamaan (1) sampai (3) dengan

saksama dan perhatikan fakta bahwa jumlah

bilangan negatif yang akan dikalikan bertambah

satu. Di sini, saya ingin menekankan kegiatan di

mana siswa menjelaskan dan mengomunikasikan

apa yang telah mereka perhatikan dengan bahasa

mereka sendiri.

14. Penyelesaian Contoh 4

Di sini, berdasarkan Q, tekankan bagaimana

cara untuk menemukan hasil kali tiga angka.

Saat ini, pastikan bahwa penghitungan

dilakukan dengan urutan berikut.

1) Periksa banyaknya bilangan negatif yang

akan dikalikan dan tentukan tanda hasil

perkaliannya.

2) Tentukan hasil kali nilai mutlak dari angka

yang akan dikalikan.

15. Penyelesaian Soal 12

Ekspresi ini termasuk konvensi seperti

menghilangkan tanda kurung dan tanda

positif. Penjelasannya ditulis di bagian atas

Soal 12, tetapi karena aturan ini mungkin sulit

dipahami oleh siswa. Dari sudut pandang

penggunaan simbol sesederhana mungkin

dalam matematika, tanda positif dari jawaban

dihilangkan dari poin ini dan seterusnya dalam

buku teks kecuali tanda tersebut benar-benar

dibutuhkan, seperti pengenalan metode.

42 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Sebuah bilangan yang dikalikan dengan dirinya beberapa kali Soal 12 6 di

halaman sebelumnya merupakan bilangan yang dinyatakan dalam bentuk

eksponen.

5 × 5 dituliskan sebagai 52

, dan dibaca

“5 pangkat dua atau 5 kuadrat”

5 × 5 × 5 dituliskan sebagai 53

, dan disebut “lima pangkat tiga”.

Angka kecil yang muncul di atas angka yang pertama menunjukkan berapa kali

bilangan dipangkatkan. Bilangan pangkat tersebut dinamakan eksponen.

Nyatakan perkalian berikut dalam bentuk perpangkatan eksponen.

2 × 2 × 2

2

Nyatakan luas persegi dengan panjang sisi 5

cm, kemudian hitung volume kubus dengan

panjang sisi 5 cm. Nyatakan dalam bentuk

eksponen. Satuan apa yang paling cocok

digunakan?

Hitunglah.

Makna dari

pernyataan

matematika (-3)2

berbeda dengan -32 .

1

　 × 　(-5) × (-5) × (-5)

= (-5)3

1 　(-5)

3 　（- ) × (- )

　(-3)2

=(-3) × (-3)

=9

2 　-32

= - (3 × 3)

= -9

　(-10)2 1 2 　-10 3 2

　0,32 4 5 　(-2) 6 3 　-23

　（- ）

2

1 2 (-4) × (-4)

=（ )

2

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

5 cm

“dipangkatkan dua” sering disebut “kuadrat”.

Kita memperlakukan

pengurangan sebagai kebalikan

dari penjumlahan. Saya ingin

tahu apakah pembagian

merupakan kebalikan dari

perkalian?

Jika kita berhati-hati dalam menggunakan

tanda, kita dapat mengalikan bilangan

positif dan negatif seperti kita lakukan

di SD. Kita seharusnya juga mampu

melakukan pembagian dengan cara yang

serupa.

Perpangkatan (Eksponen)

Hlm.43

Catatan

Cobalah

Hlm.55

Pengayaan 2-1

← Eksponen 53

Contoh5

Soal 13

Soal 14

Contoh 6

Soal 15

2

3

2

3

=（ ) 2

3

3

5

3

5

　（- ）4

7

42 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Soal 13

(1) 23 (3) -

3

5

2





(2) (-4)2

Soal 14

(1) 100 (4) 0.09

(2) -100 (5) -8

(3) 16

49 (6) -8

Pertanyaan Serupa

Kerjakan soal berikut

(1) (-0.7)2

(4) -24

(2) -0.72 (5) (2 × 3)2

(3) (-2)4

(1) 0.49 (4) -16

(2) -0.49 (5) 36

(3) 16

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

16. Perpangkatan

Berkaitan dengan satuan luas dan

volume dari kubus dan persegi (cm2

dan

cm3

), hal ini dapat digunakan sebagai salah

satu contoh penerapan bentuk eksponen

atau perpangkatan. Area dan volume spesifik

dibahas di hal.14. Juga, perhatikan bahwa

ketika persamaan dalam bentuk pangkat

dimasukkan, adalah umum untuk keliru antara

5³ dengan 5 × 3.

17. Penyelesaian Contoh 5

Dalam pangkat bilangan negatif dan

pangkat pecahan, lakukan dengan tanda kurung

sambil memikirkan cara menyelesaikannya.

18. Penyelesaian Soal 15 dan Contoh 6

Ada banyak kesalahan yang seringkali membuat siswa bingung, yaitu bentuk (-3) ² dengan -3².

Perjelas bahwa (-3)² adalah kuadrat dari -3 dan -32

adalah bilangan 3² dengan tanda negatif. Di Soal

15, siswa akan diinstruksikan untuk menulis rumus

di tengah. Dengan demikian, dapat dipahami

bahwa (-2) ³ dan -2³ memiliki arti yang berbeda

meskipun hasil perhitungannya sama.

19. Penyelesaian dari balon percakapan

Saat meringkas perkalian bilangan positif

dan negatif, disarankan untuk menjelaskan

tentang prediksi metode pembagian. Saat itu,

siswa ingin memperluas ke pembelajaran di

halaman berikutnya, sambil mengingat kembali

bahwa bahwa penjumlahan dan pengurangan

adalah perhitungan mundur.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 43

Mempelajari pembagian bilangan positif dan negatif menggunakan

perkalian.

Perhatikan 3 dan 4 pada , isilah dengan bilangan yang sesuai.

Isilah dengan bilangan yang sesuai.

(　　　 ) × (+2) = +6

(　　　 ) × (-2) = +6

Menentukan bilangan untuk diisikan di , kita menggunakan pembagian

sebagai kebalikan perkalian.

Operasi pembagian bilangan positif dan negatif juga disebut pembagian. Hasil

dari pembagian disebut hasil bagi.

Perhatikan 1 dan 2 pada , kita memperoleh persamaan pembagian berikut ini

1 Karena (+3) × (+2) = +6, (+6) : (+2) = +3

2 Karena (-3) × (+2) = -6, (-6) : (+2) = -3

3 Karena (-3) × (-2) = +6, (+6) : (-2) =

4 Karena (+3) × (-2) = -6, (-6) : (-2) =

Apa hubungan antara tanda dan nilai mutlak dari hasil bagi serta tanda dan

nilai mutlak dari bilangan-bilangan dalam pembagian bilangan positif dan

negatif? Gunakan empat pernyataan matematika pada Contoh 1 dan Soal 1.

Hasil bagi dua bilangan dengan tanda berbeda.

1 2

1

3

(　　　 ) × (+2) = -6

(　　　 ) × (-2) = -6

2 (　　　 )

4

2 Pembagian

Pembagian Menggunakan Tanda dan Nilai

Diskusi

(+14) : (+7)

= +(14 : 7)

= +2

　(+) : (+) → (+)

(-18) : (-3)

= +(18 : 3)

= +6

　(-) : (-) → (+)

Tujuan

Soal 1

Soal 2

Contoh 1

Contoh 2

Bab 1 Bilangan Bulat 43

2 jam

2 Pembagian

Tujuan

1. Memahami aturan penghitungan untuk

pembagian bilangan positif dan negatif.

2. Kebalikan dari suatu bilangan dapat

digunakan untuk mengubah pembagian

menjadi perkalian.

3. Mampu untuk melakukan operasi campuran

perkalian dan pembagian.

Jawaban

(1) +3 (3) -3

(2) -3 (4) +3

Soal 1

(3) -3 (4) +3

Soal 2

Siswa harus dapat menjelaskan

karakteristik berikut dengan cara sendiri dan

menemukannya secara berkelompok. Tanda :

Positif bila bilangan yang akan dibagi sama, dan

negatif bila keduanya berbeda.

Nilai mutlak: Hasil bagi dari nilai mutlak

kedua bilangan tersebut.

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

1. Penjelasan

Cobalah mencari bilangan yang sesuai

dengan [ ] dengan mengingat kembali hasil

perhitungan perkalian bilangan positif dan

negatif.

2. Penyelesaian Contoh 1 dan Soal 2

Mengingat bahwa pembagian adalah

perhitungan kebalikan dari metode perkalian

maka metode pembagian bilangan positif dan

negatif diperkenalkan. Karena siswa membuat

empat bentuk operasi perkalian di Q, maka

dalam membuat bentuk operasi pembagian juga

berdasarkan bentuk tersebut.

3. Penyelesaian Soal 2

Merupakan masalah untuk menentukan

bagaimana mencari hasil bagi dengan

memperhatikan tanda dan nilai mutlak dari

angka yang akan dibagi. Oleh karena siswa sudah

mempelajari aturan hitung perkalian bilangan

positif dan negatif, selanjutnya ajarkan mereka

penggunaan istilah-istilah matematika seperti

tanda yang sama dan tanda yang berbeda.

4. Penyelesaian Contoh 2

Terapkan hasil soal 2 ke hasil bagi dari dua

bilangan bertanda sama. Pertama-tama tentukan

tanda hasil bagi, kemudian temukan nilai mutlak

dari hasil bagi.

44 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Hasil bagi dua bilangan dengan tanda berbeda.

1

Pembagian bilangan positif dan negatif dapat dirangkum sebagai berikut.

2

Jika 0 dibagi bilangan positif atau negatif, maka

hasil bagi selalu 0.

Saya Bertanya

Dapatkah kita membagi

dengan 0? Hlm.46

Hitunglah.

(+18) : (+9)

(+25) : (-5)

1

3

(-12) : (-2)

(-100) : (+10)

2

4

Hitunglah.

(+10) : (+2)

(-24) : (+8)

(+84) : (-12)

1

4

7

(-8) : (-4)

0 : (-5)

(-1,2) : (+4)

2

5

8

(+16) : (-2)

(-3) : (-6)

(-6,3) : (-9)

3

6

9

Penggunaan tanda

sama seperti pada

perkalian.

Pembagian Bilangan Positif dan Negatif

1

2

｛

Tanda: positif

Nilai mutlak: Hasil bagi nilai-nilai mutlak dua

bilangan dalam pembagian

｛

Tanda: negatif

Nilai mutlak: Hasil bagi nilai-nilai mutlak dua

bilangan dalam pembagian

Hasil bagi dua

bilangan dengan

tanda sama

Hasil bagi dua

bilangan dengan

tanda berbeda

PENTING

　(+8) : (-2) = -(8 : 2)

= -4

　(-21) : (+3)

= -(21 : 3)

= -7

(+) : (-) → (-) (-) : (+) → (-)

Contoh 3

Soal 3

Soal 4

Dalam melakukan pembagian, kita menghapus tanda + pada penyataan

matematika dan pada jawaban. Kita juga dapat menghapus tanda kurung pada

bilangan pertama.

44 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Soal 3

(1) +2 (3) -5

(2) +6 (4) -10

Soal 4

(1) +5 (6) + 1

5

(2) +2 (7) -7

(3) -8 (8) -0,3

(4) -3 (9) +0,7

(5) 0

Pertanyaan Serupa

Tuliskan rumus pembagi untuk mencari bilangan

yang sesuai untuk [ ] berikut.

(1) ( ) × (–3) = -27

(2) ( ) × (–6) = +36

(3) (-7) × ( ) = -21

(4) (-8) × ( ) = -40

(1) (-27) : (-3) = +9

(2) (+36) : (-6) = -6

(3) (-21) : (-7) = +3

(4) (-40) : (+8) = -5

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

5. Penyelesaian Soal 3 dan Contoh 3

Terapkan hasil soal 2 pada halaman sebelumnya pada hasil bagi dari dua bilangan dengan

tanda berbeda. Kemudian, setelah membahas Contoh 3 dan 2 di halaman sebelumnya, berlatihlah

dengan Pertanyaan 3 dan rangkum cara membagi bilangan positif dan negatif.

6. Penyelesaian tentang 0

Khusus kasus pembagian, biarkan siswa memahami bahwa hasil bagi ketika 0 dibagi dengan

bilangan positif dan negatif adalah 0, dengan memberi siswa kesempatan untuk mendiskusikannya.

Referensi Makna Pembagian

Pembagian dapat berarti dua makna, yaitu (1) pembagian sebagai pengurangan yang berulang,

(2) Dibagi menjadi berapa bagian yang sama besar. Pada halaman sebelumnya, aturan perhitungan

pembagian diturunkan dari bentuk (2).

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 45

Hitunglah a dan b kemudian bandingkan hasilnya.

15 : (-3)

（- ）×（- ）= 1

Jadi, kebalikan dari - 2

3 adalah - 3

2 ,

kebalikannya dari - 3

2 adalah - 2

3 .

15 ×（- ）

Tentukan kebalikannya.

1 　- 2 　- 3 -5 4 -1

Pembagian dan Kebalikannya

:

a b

Berdasarkan di atas, membagi bilangan positif atau negatif sama dengan

mengalikan dengan kebalikan pembaginya.

Membagi bilangan positif atau negatif sama dengan mengalikan dengan

kebalikan pembaginya.

Jika hasil kali dua bilangan adalah

1, maka salah satu bilangan

merupakan kebalikan.

Ulasan

Karena hasil kali sembarang bilangan dengan 0 menghasilkan 0, dan tidak mungkin 1, maka 0

tidak memiliki kebalikan

Catatan

Kelas VI - II Hlm. 95

Soal 5

Bagaimanakah caranya menghitung hasil pembagian bilangan-bilangan

pecahan berikut ini?

Kalian dapat mengubah pembagian menjadi perkalian dengan kebalikan

pembagi. Bilangan negatif juga memiliki kebalikannya.

Sebagai contoh

Marilah kita menggunakan kebalikan untuk mengubah pembagian menjadi

perkalian.

2 　（- ) :（- ) =（- ）×（- ）

= + ( × ）

=

Hitunglah.

1

3

2

4

=10 × ( - ）

= - (10 × ）

= -

1 　10 : (-6)

　6 : (- ）

　（- ）:

　（- ）: (-3)

　（- ) : (- ） Cobalah

Hlm.55

Pengayaan 2-2

Contoh

Soal 6

: 5

7

2

3

2

3

3

2

4

7

1

6

1

3

）1

6

）1

6

5

3

　（- ) :（- 2

5

2

3 =（- ）2

5 （- ）3

2

2

5 ）3

2

3

5

　（- ）: 1

3

3

4

　6 : (- ）4

3

) : (- ） 3

5

9

10

　（- 5

6

Bab 1 Bilangan Bulat 45

Jawaban

Seperti yang ditunjukkan di bawah ini,

bilangan yang akan dibagi dapat dibalik dan

diubah menjadi perkalian.

5

7

2

3

5

7

3

2

15

14

:   

Soal 5

(1) -

7

4

(3) -

1

5

(2) -6 (4) -1

A, B sama sama menghasilkan -5

Soal 6

(1) -

4

9

(3) -

1

5

(2) -

2

3

(4) 5

18

7. Penjelasan

Ada dua soal yang dibagi dengan pecahan

yang dipelajari di sekolah dasar, dan kita akan

mempertimbangkan kebalikan dari 2

3

.

Mengenai bilangan invers, di kelas enam

sekolah dasar, siswa belajar bahwa “ketika hasil

perkalian dua bilangan adalah sama dengan 1,

satu bilangan disebut invers dari bilangan lainnya”,

dan invers dari bilangan bulat dan pecahan dapat

dicari setelah mengubahnya menjadi pecahan.

Di sekolah menengah pertama, tekankan

kepada siswa bahwa kebalikan dari bilangan

negatif adalah bilangan negatif juga.

8. Penyelesaian Soal 5

Pada (3), -5 = -

5

1

, pada (4), -1 = -

1

1

lebih

baik mengubahnya menjadi bentuk pecahan

terlebih dahulu dan kemudian menentukan

invers atau kebalikan dari bilangan tersebut.

9. Penjelasan

Di kelas 6 sekolah dasar, siswa pernah belajar

bahwa “operasi pembagian pecahan dengan

pecahan dihitung dengan mengalikan kebalikan

dari bilangan yang dibagi.” Siswa dapat menghitung dengan memodifikasi metode perkalian

yang digunakan. Di sini, dengan membandingkan

hasil dari (a) dan (b), ternyata keduanya memiliki

hasil yang sama, sehingga dapat digeneralisasikan

bahwa “membagi dengan bilangan positif

atau negatif sama dengan mengalikan dengan

kebalikan dari bilangan itu.”

10. Penyelesaian Contoh 4 dan Soal 6

Hitung dengan mengubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengan

menggunakan kebalikan dari bilangan positif

dan negatif. Pengurangan dapat dinyatakan

ke dalam bentuk penjumlahan berdasarkan

gagasan penjumlahan aljabar, tetapi pembagian

dapat dinyatakan ke dalam bentuk perkalian

dengan menggunakan kebalikan kebalikan dari

bilangan.

46 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Sekarang kita dapat melakukan

penjumlahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian

bilangan positif dan negatif.

Menurut saya, sekarang kita dapat

melakukan hitungan dengan

menggunakan kombinasi empat operasi

tersebut, misalnya 25 + (-2) x 10.

Yuda menyelesaikan soal 24 : (-3) × 2 seperti

ditunjukkan di samping ini. Apakah menurutmu

benar? Jelaskan alasanmu.

Operasi Campuran Perkalian dan Pembagian

Dapatkah Kita Membagi dengan 0?

Jika kita menulis 0 : 0 = ,

maka kita dapat menyatakan

× 0 = 0. Kita dapat

menempatkan sembarang

bilangan pada . Jadi, tidak

ada jawaban pasti untuk 0 : 0

1 Jika kita menulis 3 : 0 = , 2

maka kita dapat menyatakan

× 0 = 3. Tidak ada bilangan

yang jika dituliskan di , Jadi,

tidak ada hasil pembagian 3 : 0

Dalam matematika, kita tidak membagi dengan 0, seperti 3 : 0. Berikut ini

alasannya.

24 : (-3) × 2

= 24 : (-6)

= -4

Hlm.47

Diskusi

Benarkah?

Cermati

Untuk menyelesaikan pernyataan matematika yang melibatkan perkalian dan

juga pembagian, sebaiknya diubah dahulu menjadi bentuk perkalian saja.

Hitunglah.

1 (-7) : 2 × (-4) 2 　20 × (-5) : (- ）

3 6 :（- ) × (- ） 4 　 : (- ）: 4

4 : (- ) × (-9)

= + (4 × × 9）

= 42

= 4 × (- ) × (-9)

Jika kita sudah mengubah

pembagian menjadi

perkalian, maka kita

dapat menggunakan sifat

komutatif dan asosiatif.

Ubah pembagian

menjadi bentuk

perkalian.

Cobalah

Hlm.55

Pengayaan 2-3

Soal 7

Contoh 5 6

7

(- ) 7

6

7

6

6 :（- ) 2

3 (- ）5

9

(-5) : (- ）1

3

2

3 : (- ）: 4 3

8

46 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Tidak benar

persamaan yang ditetapkan

= (-8) × 2 = -16

yang benar adalah menjawab dari

sebelah kiri

Soal 7

(1) 14 (3) 5

(2) 300 (4) -

4

9

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

11. Penjelasan

Dalam perhitungan campuran antara

pembagian dan perkalian, prinsipnya adalah

menghitung berurutan dari sebelah kiri,

dan merupakan hal yang harus dipastikan.

Dengan memberikan kesempatan siswa untuk

berdiskusi, selanjutnya guru bisa menunjukkan

kesalahan yang dilakukan oleh Yuda.

12. Penjelasan Contoh 5

Dalam campuran perhitungan perkalian

dan pembagian, akan berurusan dengan

metode perhitungan dengan merubah rumus

hanya untuk perkalian.

Mengubah rumus hanya untuk metode

selanjutnya, jawaban berikut ini mejadi lebih sulit.

salah a b c a bc a

bc

: :   

benar a b c a

b

c

ac

b

:     

1

dari jawaban Yuda salah seperti

contoh diatas. jika kita mengubah rumus

hanya untuk metode perkalian selanjutnya,

maka memungkinkan untuk menghitung

menggunakan metode pertukaran dan metode

kombinasi atau metode berikutnya.

13. Penjelasan dari balon percakapan

Tapi, kita harus mengingat kembali tentang

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian bilangan negatif. Jika waktu

pembelajaran masih ada, ajak siswa untuk

mengingat kembali poin-poin yang penting

yang telah dipelajari sebelumnya. pada

halaman berikutnya akan dibahas mengenai

operasi campuran penjumlahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian. Jadi, ada baiknya

guru memastikan apakah siswa mengingat

materi yang pernah diajarkan di sekolah dasar.

14. Bisakah dibagi bilangan 0

Dalam matematika, kita tidak mengenal

pembagian dengan 0. Akan tetapi, dimungkinkan bagi guru untuk memperdalam pembelajaran perkalian dan pembagian dengan

menunjukkan kepada siswa alasannya.

Salah satu metodenya terdapat pada

halaman 44, yang dibahas kembali pada

halaman ini. Cobalah untuk mengajarkannya

dengan mempertimbangkan situasi siswa dan

kemajuan kelas.

Ada pula cara menjelaskan soal seperti

pada halaman ini

(1) 3 : 0 = ? (2) 0 : 0 = ?

Ada baiknya berdiskusi untuk mengetahui

apakah dapat dihitung atau tidak.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 47

Mia mengerjakan hitungan 25 + (-2) × 10 seperti

yang ditunjukkan berikut ini. Apakah benar?

Jelaskan alasanmu.

Mempelajari hitungan yang melibatkan kombinasi penjumlahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian.

Penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian disebut empat operasi.

Dalam pernyataan yang memuat empat operasi, pikirkan bagaimana urutan

mengerjakannya.

3 Hitungan dengan Kombinasi Empat Operasi

Jika ada eksponen, maka hitung

terlebih dahulu eksponen.

Dalam melakukan hitungan yang

melibatkan penjumlahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian, maka perkalian

dan pembagian didahulukan.

Jika ada tanda kurung, maka

kerjakan terlebih dahulu operasi

yang ada di dalam kurung tersebut.

Hitunglah.

1 -7 + (-3) × 2

3 14 – 10 × (-3)

2 8 + (-20) : (-4)

4 (-6) × (-5) – (-18) : 6

Hitunglah.

1 (7 – 19) : 3

3 21 : (-2 – 5)

2 (-2) × (4 – 9)

4 {6 – (-3)} × 8

Dengan menggunakan

urutan operasi, jelaskan

apakah hitungan yang

dilakukan benar atau salah.

Berpikir Matematis

25 + (-2) × 10

= 23 × 10

= 230

Diskusi

45 : (-3)2

= 45 : 9

= 5

5 + (-2) × 4

= 5 + (-8)

= -3

(-12 – 20) : 4

= (-32) : 4

= -8

Benarkah?

Tujuan

Contoh 1

Soal 1

Soal 2

Contoh 2

Contoh 3

Hitunglah.

1 12 : (-2)2 2 -3 3 4 2 + 10 6 – (-4)2 (-6)2 + (-72

)

Soal 3

Bab 1 Bilangan Bulat 47

2 jam

Hitungan dengan Kombinasi

Empat Operasi

3

Tujuan

1. Memahami urutan penghitungan operasi

yang melibatkan kombinasi empat operasi

dan tanda kurung, dan mampu melakukan

penghitungan tersebut.

2. Memahami bahwa sifat distributif berlaku

untuk bilangan positif dan negatif, dan

menggunakannya dalam menyelesaikan

operasi hitungan.

Jawaban

Salah

persamaan yang ditetapkan

= 25 + (-20)

= 5

yang benar adalah

Soal 1

(1) -13 (3) 44

(2) 13 (4) 33

Soal 2

(1) -4 (3) -3

(2) 10 (4) 72

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

1. Penjelasan Pertanyaan

Mengenai urutan hitungan campuran yang

melibatkan empat operasi yang telah dipelajari

di kelas 4 sekolah dasar.

(1) persamaan biasanya dihitung berurutan

dari kiri.

(2) untuk perhitungan yang ada tanda

dalam kurung, bilangan dalam tanda

kurung tersebut dihitung terlebih dahulu

(3) pada operasi dengan campuran +, -,

×, dan ÷, perkalian dan pembagian

dihitung terlebih dahulu.

Di sini, siswa perlu diingatkan kembali bahwa

operasi hitung campuran yang melibatkan empat

operasi hitung memili aturan terkait urutan

operasi yang didahulukan. Beberapa siswa

mungkin bertanya-tanya mengapa perkalian dan

pembagian harus didulukan. Tidak mudah untuk

menjelaskan secara logis.

Operasi perkalian merupakan penyederhanaan dari operasi penjumlahan (contoh, 4 +

2 × 3 = 4 + 2 + 2 + 2), sedangkan bentuk notasi

bilangannya adalah sebagai berikut.

423 = 4 × 100 + 2 × 10 + 3 × 1

Ada baiknya hal tersebut dijelaskan secara

singkat.

2. Penjelasan Contoh 1 dan Soal 1

Pastikan perkalian dan pembagian dihitung

sebelum penjumlahan dan pengurangan, bahkan

saat menghitung bilangan positif dan negatif.

dalam pertanyaan 1 (3), “-” di depan 10 dapat

dianggap sebagai simbol pengurangan (kiri

bawah) atau sebagai tanda negatif (kanan bawah).

14 - 10 × (-3) 14 - 10 x (-3)

= 14 - (-30) = 14 + {-10 x (-3)}

= 14 + 30 = 14 + 30

= 44 = 44

48 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Hitunglah soal a dan b di bawah ini, kemudian bandingkan hasilnya.

Hitunglah.

1 4 + 7 × (6 – 7)

3 (6 – 23

) × (-3)

5

(-5) × {(-4) + 6} (-5) × (-4) + (-5) × 6

Sifat berikut ini juga berlaku untuk bilangan-bilangan positif dan negatif.

a × (b + c) = a × b + a × c

(b + c) × a = b × a + c × a

Sifat Distributif {

b + c

a

b c

1

3 17 × 9 + 17 × (-8)

12 × ( – ) = 12 × + 12 × (- )

= 6 – 4

= 2

2

4 69 × (-7,2) + 31 × (-7,2)

Sifat Distributif

　 +（- )2

2 10 - (-8 + 5) × 6

4

6 　 – :

　(-4)2 + 25 : (-52

)

　28（- + ） 　（ – ）× 36

a b

Mari mengulas materi yang telah kita

pelajari sejauh ini tentang hubungan

antarbilangan.

Dalam kasus seperti apakah

kita perlu melakukan hitungan

menggunakan bilangan positif dan

negatif? Hlm.50 Hlm.52

Soal 4

Soal 5

　28（- + ） 1

4

1

7 　（ 3

4 ）5

6

+（- ) 1

3

+（- ) 2

3

1

4 :

3

7

4

7

Contoh 4 1

2 + 12 1

2 ) = 12 1

3 (- ) 1

3

Cobalah

Hlm.55

Pengayaan 4-4

Jawablah soal-soal berikut ini dengan menerapkan sifat distributif.

48 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jawaban

Soal 3

(1) 3 (3) -10

(2) 1 (4) -13

Soal 4

(1) -3 (4) 17

(2) 28 (5) 7

9

(3) 6 (6) -

1

2

Hasilnya sama-sama -10.

Soal 5

(1) persamaan yang ditetapkan = -7 + 4

= -3

(2) persamaan yang ditetapkan = 27 - 30

= -3

(3) persamaan yang ditetapkan = 17 × (9 -8)

= 17

(4) persamaan yang ditetapkan = (69 + 31) × (-7,2)

= -720

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

3. Penjelasan Contoh 3 halaman sebelumnya

Jika ada bilangan yang lebih besar, buat

mereka mengerti bahwa bilangan tersebut itu

dihitung terlebih dahulu. Di sini ditegaskan

kembali perbedaan makna antara (-3)2

dan -32

yang dipelajari di halaman 42.

4. Penjelasan Soal 4

Berkaitan dengan operasi campuran dari

beberapa operasi yang melibatkan urutan

perhitungan, pertama-tama penting untuk

melihat seluruh operasi dan memiliki perspektif

tentang penghitungan. Salah satu caranya

adalah dengan mengilustrasikan urutan

perhitungan seperti berikut ini.

5. Penjelasan

Telah dipelajari di kelas 4 sekolah dasar sifat

distributif berlaku untuk bilangan positif dan

0. Di sini, ditekankan bahwa hal tersebut juga

berlaku untuk bilangan negatif.

6. Sifat distributif

Berikut adalah istilah pertama untuk sifat

distributif. Representasi geometris (tentang

luas daerah) yang ditunjukkan pada buku teks

berguna untuk memahami makna hukum

distribusi.

7. Penjelasan dari balon percakapan

Sebaiknya mengajukan pertanyaan seperti

apa yang telah di pelajari dan nomor apa yang

telah di pelajari dari pembelajaran tersebut

sejauh ini.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 49

Dari Manakah Tanda “＋” dan “−” Berasal?

Kapan tanda-tanda dalam hitungan yang sekarang kita gunakan ini muncul

pertama kali?

Sebenarnya, penggunaan simbol-simbol tersebut semuanya diselesaikan

antara abad 15 dan 17. Periode antara abad 15 dan 17 adalah Abad

Eksplorasi Eropa, yaitu saat negara-negara Eropa berlayar dalam upaya

perdagangan dan kolonisasi. Kebutuhan akan pengamatan astronomi

untuk navigasi dan keamanan pelayaran, serta menghitung cepat dalam

perdagangan memicu lahirnya hitungan menggunakan tanda-tanda dan

simbol untuk menyederhanakan dan mempermudah.

Sebagai contoh,

adalah Bahasa Latin untuk “dan”

artinya “kurang”

Tanda + dan – mula-mula digunakan untuk menunjukkan kelebihan atau

kekurangan. Di kemudian hari, tanda tersebut juga digunakan dalam

hitungan. Terdapat teori bagaimana sejarah timbulnya simbol-simbol

tersebut. Berikut ini dua teori tersebut.

5 minus 3 sama dengan 2 5 – 3 = 2

Pada buku Arithmetics karya Widmann,

simbol + dan – dipergunakan untuk

menyatakan kekurangan.

+，- 1489　Widmann, Jerman

= 1557　Recorde, Inggris

* 1631　Oughtred, Inggris

<，> 1631　Harriot, Inggris

/ 1659　Rahn, Swiss

Tahun simbol-simbol digunakan pertamakali

dalam buku dan nama pengarangnya.

Selain penemuan tanda-tanda hitungan, banyak perkembangan

penting selama Abad Eksplorasi, antara lain penemuan desimal dan

berbagai metode hitungan. Akan bermanfaat jika melihat kembali

perkembangan masa itu.

Cermati

Bab 1 Bilangan Bulat 49

8. Asal muasal simbol “+ dan -”

Ada berbagai topik tentang simbol kalkulasi,

seperti sejarah, pencipta, dan alasannya.

Zaman dahulu, tidak perlu memproses

dalam jumlah yang besar, permasalahan

kalkulasi dihitung santai dengan “Abacus (asal

usul dari Sempoa)”.

Namun, selama era Age of Discovery,

kebutuhan untuk keperluan perdagangan dan

observasi astronomi membutuhkan banyak

perhitungan yang cepat.

Oleh karena itu, sebuah metode dirancang

untuk mendeskripsikan isi yang telah ditulis

menjadi kalimat dengan simbol.

Saat itu, “kalkulator” yang memegang

peranan penting dalam hal berikut.

1. pembuatan tanda

2. perhitungan aritmetika yang

cepat

3. penemuan desimal dan pecahan

1. perhitungan dalam kontrak

bisnis

2. sekolah menghitung

3. buku teks perhitungan

dunia

matematika

dunia

nyata

Selain memainkan peran penting tersebut,

tanda tersebut menjadi dasar untuk berbagai

perhitungan matematika saat ini.

9. Penemuan simbol utama

Tanda “+, -” digunakan dalam buku

aritmatika yang ditulis oleh Widman dari Jerman

pada tahun 1489. Namun, beliau menggunakan

“+, -” bukan sebagai tanda penyesuaian tetapi

sebagai tanda yang menunjukkan kelebihan

atau kekurangan.

Menurutnya pada tahun 1514, Hokke

dari Belanda pertama kali menggunakan “+, -”

sebagai simbol aritmatika.

Simbol “=” pertama kali digunakan oleh

catatan Inggris dalam buku aljabar pada tahun

1557. Simbol ini dikatakan dibuat karena “tidak

ada yang lebih dari dua garis paralel.” Setelah

itu, Wallis, Newton, Leibniz dari Jerman dan

lainnya mulai menggunakan “=” dan menyebar

luas.

Simbol “X” pertama kali digunakan oleh

British Auto Red pada tahun 1631. Selain itu,

tanda “⋅” dapat dimasukkan di antara angka

untuk menjadikannya simbol perkalian, tapi “⋅”

digunakan lebih awal dari pada “×”.

Terdapat catatan bahwa simbol “÷”

digunakan oleh liese dari jerman pada tahun

1522 sebagai simbol pengurangan. Simbol

pengurangan pertama kali digunakan oleh larn

dari swiss dalam buku-buku aljabar pada tahun

1659.

50 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Mempelajari bagaimana menggunakan bilangan positif dan negatif pada

dunia nyata dan kehidupan sehari-hari.

Rata-rata sama dengan jumlah total nilai dibagi banyaknya nilai.

Sebuah uji kebugaran telah dilakukan di Sekolah

Menengah Pertama Harapan Bangsa. Berikut ini

tabel yang menyajikan lompatan terjauh dari

empat anak. Berdasarkan tabel tersebut, hitunglah

rata-rata lompatan empat anak tersebut.

Tabel Data Loncatan Terjauh

Nama Toni Ucok Desi Sari

Loncatan Terjauh (cm) 181 208 169 194

Berdasarkan , Toni mengamati bahwa data keempat anak tersebut lebih dari

150 cm. Dia menyusun kalimat matematika untuk menentukan rata-rata data

lompatan. Diambil 150 cm sebagai titik acuan.

Kalimat matematika: 150 + (31 + 58 + 19 + 44) : 4

1

Toni

Ucok

Desi

Sari

0

181 cm

208 cm

169 cm

194 cm

50 100 150 200

4 Penggunaan Bilangan Positif dan Negatif

Jelaskan arti kalimat matematika Toni di atas. Hitunglah rata-rata menggunakan

cara tersebut. Periksa apakah hasilnya sama dengan hitungan menggunakan

rumus yang diberikan di .

Penerapan

［ Kegiatan Matematis ］

Tujuan

Bukankah ada cara lebih

mudah untuk mengitung

rata-rata bilanganbilangan besar?

Sumber: Dokumen Puskurbuk

50 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

2 jam

Penggunaan Bilangan Positif

dan Negatif

4

Tujuan

Untuk jumlah tertentu, dimungkinkan

menggunakan metode ini untuk menghitung

rata-rata secara efisien yang menyatakan

kenaikan atau penurunan dari nilai data yang

ditetapkan (rata-rata sementara) dengan

menggunakan bilangan positif dan negatif.

Jawaban

Dari data berikut (181 + 208 + 169 + 194) ÷ 4

= 188, rata-rata lompatan empat anak tersebut

adalah 188 cm.

1

catatan empat orang direpresentasikan dengan

angka positif relatif terhadap 150 cm, hitung

rata-rata, kemudian ditambahkan ke referensi

150 cm.

150 + (31 + 58 + 19 + 44) : 4

= 150 + 152 : 4

= 150 + 38

= 188 (cm)

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

1. Aktivitas matematika saat ini

Saat ini yang kita bahas adalah “kegiatan

mencari rata-rata jauh lompatan dari beberapa

anak dengan memanfaatkan bilangan positif dan

negatif” sebagai kesempatan untuk melakukan

aktivitas matematika matematika yang ditunjukkan dengan pedoman pembelajaran.

2. Penjelasan

Pada saat di kelas 5 SD telah dipelajari

bahwa rata-rata merupakan “jumlah atau

kuantitas beberapa ukuran yang dibuat

menjadi satu ukuran yang sama disebut ratarata dari jumlah atau kuantitas asli” dan “ratarata = jumlah total nilai ÷ banyaknya nilai”.

Mengingat pembelajaran di sekolah dasar,

tekankan bahwa rata-rata dapat diperoleh

dengan membagi total semua data dengan

jumlah orang.

3. 1 Penjelasan

Saat membaca arti sebuah bentuk

matematika, biarkan mereka berpikir dengan

membandingkan bentuk tersebut tersebut

dengan diagram batang. Siswa yang tidak dapat

memahami arti bentuk matematika tersebut

hendaknya berpikir dengan urutan sebagai

berikut.

(1) nilai 150 mewakili angka standar.

(2) +31, +58, +19, dan +44 mewakili perbedaan

dari 150 digunakan sebagai pengganti 0.

(3) (31 + 58 + 19 + 44) ÷ 4 adalah rata-rata

jumlah yang melebihi standar (150).

(4) untuk 150+ (31 + 58 + 19 + 44) ÷ 4, standar

dikembalikan ke 0 cm dan rata-rata dihitung.

Dalam kelas, guru menekankan pada

aktivitas matematika siswa, seperti menjelaskan

dan berkomunikasi dalam kelompok dan

membuat presentasi secara keseluruhan.

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 51

Hasan menyusun kalimat matematika untuk menghitung rata-rata data

lompatan dengan menetapkan datanya sendiri 194 cm sebagai titik acuan.

Isilah dengan kalimat matematika yang sesuai, kemudian hitunglah rataratanya.

Kalimat matematika: 194 + ( ) : 4

Berdasarkan di halaman sebelumnya, titik manakah yang dijadikan titik

acuan agar lebih mudah dalam menghitung rata-rata? Tentukan titik acuanmu

sendiri, kemudian hitunglah rata-rata dengan menggunakan acuan tersebut.

Tabel di samping ini menunjukkan data

kecepatan lari 50 m dengan peserta 12 anak

perempuan di kelas Marni. Tentukan titik acuan,

kemudian hitung rata-ratanya.

Berdasarkan yang telah kita pelajari dari 1 sampai dengan 4 , buatlah

rangkuman bagaimana kita memudahkan dalam menghitung rata-rata.

(Satuan: detik)

9,1 8,7 8,5

9,5 9,0 8,6

8,3 8,8 9,2

9,1 8,7 9,3

0

181 cm

208 cm

169 cm

194 cm

50 100 150 200

2

3

4

5

0

181 cm

208 cm

169 cm

194 cm

50 100 150 200

Toni

Ucok

Desi

Sari

Toni

Ucok

Desi

Sari

Bab 1 Bilangan Bulat 51

Jawaban

2

194 + ( -134 + 14 - 25 + 0 ) : 4

= 194 + (-24) : 4

= 194 - 6

= 188 (cm

3 Contoh 3

190 cm sebagai acuan

190 + (-9 + 18 -21 + 4) : 4

= 190 + (-8) : 4

= 190 - 2

= 188 (cm)

4 Contoh 4

9,0 detik sebagai acuan

9,0 + 0,1 - 0,3 - 0,5 + 0,5 + 0

-0,4 - 0,7 - 0,2 + 0,2 + 0,1

-0,3 + 0,3 : 12

= 9,0 + (-1,2) : 12

= 9,0 - 0,1

= 8,9 detik

5 Contoh 5

Permudah penghitungan dengan menentukan nilai standar.

Untuk menjaga jumlah sekecil mungkin,

disarankan untuk menetapkan nilai standar

sehingga bilangan positif dan negatif

muncul dengan tepat.

4. Penjelasan 2

Karena telah menetapkan standar, angka

positif dan negatif muncul dalam selisih dari

standar, rata-rata kenaikan/penurunan lebih

kecil dari 1.

Dari pembelajaran 1 dan 2, biarkan mereka

memahami bahwa rata-rata itu sama terlepas

dari nilainya.

5. Penjelasan 3

Biarkan siswa memikirkan di mana harus

menetapkan standar untuk mempermudah

penghitungan dan menghitung rata-rata

dengan mandiri. Di sini akan dijelaskan

bagaimana untuk mendapatkan dan

berkomunikasi satu sama lain dan juga

mengevaluasi poin-poin yang telah disusun.

Ketahuilah bahwa selisih antar data

tidak terlalu besar, dan lebih mudah untuk

menghitung dengan menggunakan bilangan

yang mudah. Misalnya, 180 cm, 190 cm sebagai

acuan. Cara ini disebut “cara berpikir rata-rata

sementara”.

6. Penjelasan 4

Di sini, kami akan menyelesaikan masalah

dengan pandangan di mana harus menetapkan

standar untuk mempermudah penghitungan.

Misalnya pada contoh jawaban, jika standarnya

adalah 9.0 detik, dapat diketahui bahwa

bilangan awal dan bilangan negatif saling

meniadakan dan total menjadi lebih kecil.

7. Penjelasan 5

Singkatnya, ada baiknya juga meminta

siswa memikirkan di mana gagasan rata-rata

sementara dapat digunakan, misalnya, skor

rata-rata suatu tes.

52 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Merangkum materi yang sudah kita pelajari sejauh ini tentang kaitan

antara bilangan.

Kelompok yang dibentuk dengan syarat keanggotaan tertentu, seperti “semua

bilangan asli” atau “semua bilangan bulat” disebut himpunan.

Berdasarkan , di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan bilangan

asli merupakan subset (himpunan bagian) dari himpunan semua bilangan bulat.

Himpunan bilangan bulat merupakan subset dari himpunan semua bilangan.

Hubungan antara himpunan semua bilangan asli, himpunan bilangan bulat,

dan himpunan semua bilangan dapat digambarkan dalam diagram. Penyajian

himpunan dalam bentuk diagram disebut Diagram Venn.

6,9

0,7

8

5

3

74

0

21

48 13 5 1

Termasuk dalam kelompok yang manakah bilangan berikut ini pada gambar

di atas? Tulislah bilangan-bilangan berikut pada tempat yang sesuai pada

gambar.

　　-16，　　92，　　1.000，　　0,3，　　-

1

60

Bilangan Asli

Semua Bilangan

Bilangan Bulat

Diberikan bilangan-bilangan berikut ini. Manakah yang merupakan bilangan

asli? Bilangan manakah yang merupakan bilangan bulat?

　　-50，　　-3，　　-1,5，　　0，　　1，　　 7

3 ，　　2

5 Himpunan Bilangan dan Empat Operasi Hitung

Tujuan

Soal 1

1

2

18

7

1

3

52 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

0.5 jam

Himpunan Bilangan dan Empat

Operasi Hitung

5

Tujuan

1. Memahami hubungan dari bilangan

asli, bilangan bulat, dan semua bilangan

yang telah di pelajari sejauh ini dengan

merepresentasikannya dalam bentuk

himpunan.

2. Memahami perhitungan 4 jenis operasi

hitung pada himpunan bilangan.

Jawaban

bilangan asli...1, 2

bilangan bulat...-50, -3, 0, 1, 2

Soal 1

Masing-masing dari lima angka tersebut ada

dipada gambar berikut.

semua bilangan

0.3

bilangan asli

bilangan bulat

-16

92

1000

- 1

60

Penjelasan/Poin yang Perlu Diperhatikan

1. Penjelasan

Di sini, akan dijelaskan arti dari “bilangan

asli” dan “bilangan bulat” yang telah kita pelajari

dengan bilangan riil, serta dijelaskan bahwa

semua bilangan asli adalah bilangan bulat.

2. Himpunan

Pada buku siswa kelas VII ini, himpunan

disajikan tidak terlalu banyak. Akan tetapi,

diharapkan guru dapat memberikan contoh

lebih tentang himpunan baik contoh-contoh

anggota himpunan maupun bagaimana

cara menyajikan himpunan. Istilah dan cara

penyajian himpunan dengan menggunakan

diagram venn perlu dijelaskan oleh guru dan

diberikan contoh-contohnya.

3. Macam-macam himpunan bilangan

Istilah pecahan dan desimal tidak dimasukkan di sini karena pecahan dan desimal adalah

istilah yang terkait dengan notasi bilangan.

bilangan riil

angka rasional

bilangan bulat

bilangan asli

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 53

Diberikan empat operasi berikut ini. Jika kita isi dengan sembarang

bilangan asli, operasi manakah yang selalu menghasilkan bilangan asli?

Berdasarkan , di atas, penjumlahan dan perkalian dua bilangan asli selalu

menghasilkan bilangan asli. Akan tetapi, selisih dan hasil bagi dua bilangan asli

bukan merupakan bilangan asli.

Dengan kata lain, jika kita membatasi pada himpunan bilangan asli, maka

penjumlahan dan perkalian selalu dapat dikerjakan, tetapi tidak demikian

dengan pengurangan dan pembagian.

Pada tabel berikut ini kita melakukan empat operasi dengan membatasi

pada himpunan yang ditentukan di kolom pertama. Apabila kita selalu dapat

melakukan operasi pada himpunan tersebut, maka isilah dengan . Jika

operasi tidak selalu dapat dilakukan, maka isilah dengan X. Jika jawabmu X,

berikan contoh yang menunjukkan operasi tidak dapat dikerjakan.

Catatan: Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan.

Dengan himpunan semua bilangan asli, penjumlahan dan perkalian dapat

selalu dilakukan. Jika kita memperluas menjadi himpunan semua bilangan

bulat, maka penjumlahan, perkalian, dan pengurangan juga selalu dapat

dijalankan.

Dengan memperluas lebih lanjut menjadi himpunan semua bilangan, dengan

mengeluarkan 0 sebagai pembagi, maka semua operasi dapat dilakukan.

Himpunan bilangan-bilangan telah diperluas agar dapat melakukan semua

operasi secara bebas.

Penjumlahan Pengurangan Perkalian Pembagian

Bilangan asli Contoh 　 　　　 Contoh 　 　　　

Bilangan bulat

Semua bilangan

a + b - c × d :

Hubungan antara Himpunan Bilangan dan Hitungan Empat Operasi

Soal 2

Bab 1 Bilangan Bulat 53

Sejauh ini menurut siswa, \"semua bilangan\"

adalah bilangan yang telah mereka pelajari,

kecuali untuk phi yang nilainya 3,141592,

semuanya adalah bilangan rasional. Namun,

bilangan rasional dan irasional adalah materi

yang dipelajari di kelas tiga SMP (istilah

\"bilangan riil\" digunakan pada matematika

SMA). Di sini, \"semua bilangan termasuk

pecahan dan desimal\" digunakan. Akan tetapi,

dapat dipastikan bahwa bilangan tersebut dapat

dijelaskan sebagai \"bilangan yang dinyatakan

dalam bentuk pecahan\" di pembelajaran yang

akan datang.

Pada halaman 53 Soal 2 akan lebih

mudah diselesaikan dengan cermat jika dijelaskan bahwa semua pecahan dapat diubah

menjadi desimal. Harapannya siswa memahami

“semua bilangan” sesuai dengan situasi siswa.

Jawaban

Soal 2

Bagian kosong di tabel, dari kiri ke kanan

Bilangan asli ... Contoh 5-6, Contoh 2 : 3

bilangan bulat ... , , , × (Contoh 2 : 3)

Semua bilangan ... , , ,

4. Penjelasan

Untuk b dan d, alangkah baiknya jika kita

memberikan satu counterexample yang hasil

perhitungannya bukan bilangan asli.

Untuk a dan c, secara induktif dapat

diketahui bahwa hasil operasi selalu berupa

bilangan asli.

Dalam kedua kasus, siswa diharapkan

memahami sambil berdiskusi, seperti

memberikan nilai bilangan tertentu untuk

dijelaskan.

5. Penjelasan Soal 2

Hubungan subsumsi dari tiga himpunan,

yaitu “bilangan asli”, “bilangan bulat”, dan

“semua bilangan” dipahami dari sudut pandang

kemungkinan empat operasi aritmetika, dan

himpunan bilangan tersebut telah diperluas

sehingga “empat operasi aritmatika dapat selalu

dilakukan”.

Artinya, jika kita berbicara pada domain

“anggota himpunan bilangan asli”, penjumlahan

dan perkalian semuanya dapat dilakukan, tetapi

pengurangan dan pembagian mungkin tidak

dapat dilakukan. Namun, jika kita memperluas

cakupan bilangan menjadi “himpunan bilangan

bulat”, operasi pengurangan, penjumahan dan

perkalian akan dapat dilakukan. Kemudian,

dengan memperluas cakupan bilangan menjadi

“anggota himpunan semua bilangan”, maka

keempat operasi aritmatika dapat dilakukan

dengan bebas.

54 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

1 Hitunglah.

(+8) × (-9)

-10 × 6

2 Hitunglah.

(-27) : (+3)

15 : (-9)

3 Hitunglah.

18 : (-6) × (-2)

Perkalian

［Hlm.38］

［Hlm.41］

［Hlm.42］

Pembagian

［Hlm.43］

［Hlm.44］

［Hlm.45］

Hitungan dengan

Perkalian dan

Pembagian

［Hlm.46］

4 Hitunglah.

Hitungan

Menggunakan

Empat Operasi

［Hlm.47］

10 + 2 × (-7)

-5 × (6 – 9)

5 Hitunglah berikut ini dengan sifat distributif.

Sifat Distributif

［Hlm.48］ (-6) × 55 + (-6) × 45

6 Di antara empat operasi, nyatakan operasi yang selalu dapat dilakukan

untuk himpunan bilangan asli. Sebutkan operasi yang selalu dapat

dilakukan pada himpunan bilangan bulat. Himpunan

BilanganBilangan dan

Empat Operasi

［Hlm.53］

(-7)2 5

1 18（- + ）

1

3

1

3

1

1

3

(-7) × (-3)

8 × (-2) × (-4)

(-30) : (-6)

(-4) – 15 : (-3)

18 + 4 × (1 – 7)

4

2

　（- ）:（- ）

-62 6

　5 × (-4) :

16 : (-4)2 5 12 – 52 6

2

4

2

2

4

2 Cth.4

Cth.1

Cth.2

Cth.3

Cth.2

Cth.3

Cth.4

Cth.5

Cth.1

Cth.2

Cth.6

S 2

Mari Kita Periksa 3 Perkalian dan Pembagian

S 12

5

8

3

4

2

3

1

6

7

9

54 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Mari Kita Periksa

0.5 jam

Jawaban

1

(1) -72 (4) 64

(2) 21 (5) 49

(3) -60 (6) -36

2

(1) -9 (3) -

5

3

(2) 5 (4) 5

6

3

(1) Persamaan yang ditetapkan

= 18 × -

1

6



 × (-2)

= 6

(2) Persamaan yang ditetapkan

= 5 × (-4) × 3

2 = -30

4

(1) Persamaan yang ditetapkan

= 10 + (-14)

= -4

(2) Persamaan yang ditetapkan

= (-4) - (-5)

= -4 + 5

= 1

(3) Persamaan yang ditetapkan

= -5 × (-3)

= 15

(4) Persamaan yang ditetapkan

= 18 + 4 × (-6)

= 18 + (-24)

= -6

(5) Persamaan yang ditetapkan

= 16 : 16

= 1

(6) Persamaan yang ditetapkan

= 12 - 25

= -13

5

(1) Persamaan yang ditetapkan

= 18 × -

3

2



 + 18 ×

7

9

= -3 + 14

= 11

(2) Persamaan yang ditetapkan

= (-6) × (55 + 45)

= (-6) × 100

= -600

6

kumpulan bilangan asli ... penjumlahan, perkalian

set bilangan bulat ... penjumlahan, pengurangan,

perkalian

Pertanyaan Serupa

Gunakan sifat distributif untuk melakukan hal

berikut:

(1) (- 1

6

- 3

7

) × (-42)

(2) 62 × 3,14 × 82 × 3,14

(3) 25 (2) 314

BAB 1 │Bilangan Bulat

Bab 1　Bilangan Bulat 55

(+2) × (+5)

(+3) × (-8)

(-4) × (+9)

(-6) × (-7)

2 × (-6) × (+10)

-3 × 8 × (-2)

Perkalian

Pembagian

1

2

Hitungan dengan Operasi Perkalian 3 dan Pembagian

(+12) : (+6)

(+10) : (-2)

(-18) : (+6)

(-42) : (-7)

0 : (-3)

(+3,2) : (-8)

(-4) : (-2) × 7

20 × (-3) : (-5)

6 : (-9) × 15

(-3) × 6 : (-12)

(-48) : (-8) : (-4)

7

8

9

6

7

Hitungan dengan Kombinasi

Empat Operasi 4

Jawaban di hlm.285, 286

　（- ) × (+ ）

　8 × ( - ) × (-7)

(-9)2 7

8

9

-92

(-4)3

0,72

　(- ) : 6

　(-12) : (- ）

　 : (- ）

　 : (- ) × 4

　 × (- ）+ （- ）

1

36 : (-2)2

10 - 42

2

3

4

5

6

7

(-4) + 2 × (-3)

-8 – 6 × 3

18 – 72 : (-9)

3 × ((-7) – 5)

(5 - 19) : (-2)

4 × (-2) + (-14) : 2

8

(-5)2 + (-52 9 )

(-45) : 32 + 15

20 + 6 × (7 – 10)

12 – 7 × {8 + (-9)}

　 + (- ) : 2

　 – (- )2

6

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

10

11

12

10

11

12

13

14

Perkalian dan Pembagian

Mari kita terapkan yang telah kita

pelajari untuk belajar mandiri dan

latihan.

Pengayaan 2

3

5

5

8

1

4

2

3

9

4

1

7

10

9

5

14

2

3

4

7

5

8

3

4

3

4

2

3

7

9

1

3

Bab 1 Bilangan Bulat 55

Pengayaan 2

Jawaban

1

(1) 10 (5) -120 (9) -64

(2) -24 (6) 48 (10) 0.49

(3) -36 (7) 81 (11) -

3

8

(4) 42 (8) -81 (12) 14

2

(1) 2 (4) 6 (7) -

1

9

(2) -5 (5) 0 (8) 21

(3) -3 (6) -0.4 (9) -

5

6

3

(1) 14 (4) 3

2

(7) 4

9

(2) 12 (5) -

3

2

(3) -10 (6) -

32

27

4

(1) persamaan yang ditetapkan

= (-4) + (-6) = -10

(2) persamaan yang ditetapkan

= -8 - 18 = -26

(3) persamaan yang ditetapkan

= 8 - (-8)

= 8 + 8

= 16

(4) persamaan yang ditetapkan

= 3 × (-12) = -36

(5) persamaan yang ditetapkan

= (-14) : (-2) = 7

(6) persamaan yang ditetapkan

= (-8) + (-7) = -15

(7) persamaan yang ditetapkan

= 36 : 4 = 9

(8) persamaan yang ditetapkan

= 10 -16 = -6

(9) persamaan yang ditetapkan

= 25 + (-25) = 0

(10) persamaan yang ditetapkan

= (-45) : 9 + 15

= (-5) + 15

= 10

(11) persamaan yang ditetapkan

= 20 + 6 × (-3)

= 20 + (-18)

= 2

(12) persamaan yang ditetapkan

= 12 - 7 × (-1)

= 12 – (-7)

= 12 + 7

= 19

(13) persamaan yang ditetapkan

= 3

4

1

3

 



 -

= 9

12

4

12

-

= 5

12

(14) persamaan yang ditetapkan

= 7

9

1

9

-

= 6

9

= 2

3

56 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

1

Nyatakanlah bilangan atau kata yang cocok diisikan ke .

Bilangan yang tiga lebih kecil dari dua adalah ; bilangan 6 lebih

besar dari -4 adalah .

Jika kita menyatakan “lima tahun yang lalu” sebagai -5 tahun, kita dapat

menyatakan “+5 tahun dari sekarang” sebagai .

Bilangan yang memiliki nilai mutlak 7 adalah dan .

Jika bilangan negatif ditambahkan ke suatu bilangan, maka hasilnya

dibandingkan bilangan awal. Jika bilangan negatif dikurangkan

dari sebuah bilangan, maka hasilnya adalah dibandingkan

bilangan awalnya.

1

2

3

4

2 Hubungkanlah bilangan-bilangan berikut ini dengan menggunakan tanda

pertidaksamaan.

-3，1

3 Hitunglah.

6 + (-4)

(-8) × (+2)

(-28) : (-4)

4 Hitunglah.

-2 × 9 × (-5)

36 : (-32

)

-2 × (5 – 9)

4

7

　(- ) – (- ）

　( – ) × 12

1 (-7) – (+8)

3 – (+4) – (-9)

0,4 × (-0,2)

　（- ) : ( )

3

6

9

(-1) + (-9)

-2 + 6 – 5 + 7

9 : (-12)

8 　（- )2

2

5

7

1

3

5

3 : (-6) × 8

9 + 2 × (-3)

(-6) × 2 – 21 : (-7)

8 　 – : (-3)

2

4

6

1 2 -6，-7 3 4，-5，-2

10 11 12

BAB 1 Soal Ringkasan Jawaban di hlm.287

Gagasan Utama

2

3

1

3

3

4

9

14

6

7

1

4

2

3

5

6

1

2

56 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

BAB 1 Soal Ringkasan

2 jam

Jawaban

Gagasan Utama

1

(1) -1, +2

(2) +5 tahun

(3) +7, -7 (tanpa urutan tertentu)

(4) kecil, besar

2

(1) -3 < 1 (3) -5 < -2 < 4

(2) -6 > -7

3

(1) 2 (7) -16

(2) -10 (8) 9

16

(3) -15 (9) -0,08

(4) -

1

3 (10) 7

(5) 6 (11) -

3

4

(6) 8 (12) -

3

4

4

(1) persamaan yang ditetapkan

= + (2 × 9 × 5)

= 90

(2) persamaan yang ditetapkan

= 3 × -

1

6



 × 8

= -4

(3) persamaan yang ditetapkan

= 9 - 6

= 3

(4) persamaan yang ditetapkan

= -2 × (-4)

= 8

(5) persamaan yang ditetapkan

= -12 + 3

= -9

(6) persamaan yang ditetapkan

= 36 : (-9)

= -4

(7) persamaan yang ditetapkan

= 1

4 × 12 + -

2

3



 × 12

= 3 + (-8)

= -5

(8) persamaan yang ditetapkan

= 5

6